近世代数试卷4A

???? ? ? ? ? ? ? ：线号?学?? ? ? ? ? ? ? ? ? ：?名封姓?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 密 ? ：?级?班?业?专?????河南理工大学 学年第 学期

9. 多项式x2?1在域Z5中的所有根是________________________________________。

《近世代数》试卷（A卷）

10. 整系数多项式环Z[x]中的多项式f(x)全体相伴元是_________________________________。

总得分 阅卷人 复查人 考试方式 本试卷考试分数占 学生总评成绩比例 分数 60分 三、证明题：（每小题10分，共60分） 闭卷 80 % 得分

1. 证明：设G是群，a,b?G，证明： |a|?|bab?1|。 分数 10分 一、判断题：下列说法正确的打“√”，错误的打“×”。（每小题1分，共10分）

得分

1. 设M为实数集，规定关系R:aRb?ab?0,其中，a,b?M，则关系R是等价关系。（ ） 2. 设?：X?Y是映射，A?X，则?-1(?(A))?A。 （ ） 3. 全体正有理数在数的普通乘法运算下成为一个群。 （ ） 4. 任意群必为幺半群。 （ ） 5. 无限群中必有无限阶元。 （ ） 6. 群与子群有相同的单位元。 （ ） 7. a是n阶群G中的n阶元，则G??a?。 （ ） 8. 设R是环，a,b?R，如果ab?0则，a?0或b?0。

（ ）

9. 设R是整环，a,b?R，如果a与b相互整除，则a??b。 （ ） 10. 有限整环的特征必为素数。 （ ）

2. 群G的全体中心元做成集合C(G)，证明：C(G)?G。 分数 30分 二、填空题：将答案填入横线上方。（每空3分，共30分） 得分 1. 设A,B,C为任意集合，则A?(B?C)=___________________________________。 2. 设G是群，a,b,c?G，则(abc)?1=____________________________。 3. 设G为群，a?G，若|a|?st，则|as|=________________。 4. 把置换?????1234567? ?2467531??? 表示成轮换之积，?=__________________________。 5. 10阶循环群的生成元有_______________个。

6. 设H,K是群G的有限子群，则|HK|=_____________________________________。

7. 设R是一个阶大于1的环，若________________________________________________________，

则称R为除环。

8. 整环R中的元素a生成的理想?a??_______________________________________。

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3. 设N是环R到环R的同态满射?的核。证明：?是同构映射当且仅当N?{0}。

4. 设a,b是群G中两个有限阶元素，且ab?ba,(|a|,|b|)?1，证明：?a,b???ab?。

5. 证明：整数环Z的任一理想均是主理想。

6. 证明：15阶环是循环环。

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《近世代数》第

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