FreeKaoYan华东师范大学2004数学分析考研试题及解答

华东师范大学2004年数学分析考研试题

一.（30分）计算题

1?x?（1）求lim?cosx??x?02??2x2；

'（2）若y?e（3）求?xe?ln2x?xsin(arctanx),求y.

?x2(1?x)dx.

?（4）求幂级数?nxn的和函数f(x).

n?1（5）L为过O(0,0)和A(0,a)的曲线y?asinx(a?0)，

求:?(x?y)dx?(2?y)dy.

L3（6）求曲面积分??S(2x?z)dydz?zdxdy,

其中z?x2?y,(0?z?1),取上侧.

2二（30分）判别题（正确的证明，错误的举反例）

1 .若{xn,n?1,2,...,}是互不相等的非无穷大数列，则{xn}至少存在一个聚点

x0?(??,??).

2. 若f(x)在(a,b)上连续有界，则f(x)在(a,b)上一致连续. 3. 若f(x),g(x)在[0,1]上可积，则:

lim1nn???ni?1?f(in)g(i?1n)??10f(x)g(x)dx

?4 .若?n?1an收敛，则?an2收敛.

n?15.若在R2上定义的函数f(x,y)存在偏导数fx(x,y),fy(x,y)，且

fx(x,y)f,yx(y,在(0,0)上连续，则f(x,y)在(0,0)上可微.

26 .f(x,y)在R上连续，

222Dr(x0,y0)?{(x,y)|(x?x0)?(y?y0)

1

?r}若

?(x0,y0),?r?0,??Drf(x,y)dxdy?0,

2则f(x,y)?0,(x,y)?R.

三.（15分）函数f(x)在(??,??)上连续且limf(x)?A，求证：f(x)在

x??(??,??)上有最大值或最小值.

四（15分）求证不等式：2x?1?x,x?[0,1].

2五（15分）设fn(x),n?1,2...在?a,b?上连续且fn(x)在?a,b?上一致收敛于f(x),若?x?[a,b],f(x)?0,求证：?N,??0, 使?x?[a,b],n?N,fn(x)??. 六（15分）设{an}满足：

（1）0?ak?100an,n?k?1,k?2...; （2）级数?n?1?an收敛。求证：limnan?0.

n??七（15分）若函数f(x)在[1,??)上一致连续，求证：

f(x)x在[1,??)上有界.

3八（15分）设P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z)在R有连续偏导数，而且对

以任意点为(x0,y0,z0)中心，以任意正数

r2为半径的上半球面

Sr:(x?x0)恒有:

2?(y?y0)2?(z?z0)?r,2z?z0,

??

SrP(x,y,z)dydz?Q(x,y,z)dzdx?R(x,y,z)dxdy?0

求证：?(x,y,z),R(x,y,z)?0,Px(x,y,z)?Qy(x,y,z)?0

2

华东师范大学2004数学分析考研试题及解答 一、（30分）计算题。 1、求lim(cosx?x?0x212)x

22解：cosx?1?2sin2x2~1?x2(x?0)

? lim(cosx?x?0x2112)x2?lim(1?x)x?02x2?lim(1?x)x?02?1x2(?1)?e?1

2、若y?e解：y? 3、求?解：

xe?x2'?ln2x?xsin(arctanx)),求y. e?ln2'?2lnxxx?sin(arctanx)?xcos(arctanx)11?x2

(1?x)dx.

?(1?x)xe?x2dx??xe?xd11?x=

xe?x1?x-?(xe?x)'2(1?x)dx?xe?x1?x-?e?xdx=

xe?x1?x?e?x?c

?4、求幂级数?nxn的和函数f(x).

n?1解:|x|?1时

??n?1?nn? (?nxn?0)?'?(n?1)xn?0?=?nx+?xn

n?0n?0?n?1??

?n?0nxn=(?nxn?0)-?x=(n?0'nx1?x)?'11?x?1(1?x)32?11?x?x(1?x)2

5、L为过O(0,0)和A(?2,0)的曲线y?asinx(a?0),求?(x?y)dx?(2?y)dy.

Ly?asinx,dy?dasinx?acosxdx

??3??2?L(x?y)dx?(2?y)dy=?2xdx+a03?20sin3xdx+2a?2cosxdx+a0?20sinxcosxdx

=

?28?2a3

3

?2a?a22

3

6、求曲面积分??(2x?z)dydz?zdxdy,其中z?x2?y2,(0?z?1),取上侧.

S解：应用Gauss公式，并应用极坐标变换得：

??S(2x?z)dydz?zdxdy=???(V?(2x?z)?x??z?z1)dxdydz

=3???dxdydz?3?dz?0Vz0dr?2?0rd??32?.

二、（30分）判断题（正确的证明，错误的举出反例）

1、若{xn,n?1,2,?,}是互不相等的非无穷大数列，则{xn}至少存在一个聚点x0?(??,??). 正确。{xn}在数轴上对应的点集必有界无限的子点集{xn}，故由聚点定理，点集{xn}至少存在一

kk个聚点x0?(??,??).

2、若f(x)在(a,b)上连续有界，则f(x)在(a,b)上一致连续.

1x在(0,1)上连续,且有界,但

1x在(0,1)上不一致连续.

解 错误 .反例

f(x)?sinf(x)?sin3、若f(x),g(x)在[0,1]上可积，则lim解 正确。

1nn???ni?1ii?1f()g()?nn?10f(x)g(x)dx.

证：f(x),g(x)在[0,1]上可积，故对?x?[0,1],?M?0,?|f(x)|?M,且f(x)g(x)在上也可积，

1nn |?i?1f()g()?nnnMnnii?11n?i?1ii?1if()g()|?|?f()[g()?g()]| nnni?1nnninii1n??|g(i?1i?1)?g()|?Mnnii?11??(g,Ii?1n)i1n?0,(n??),

lim[1nn故

n???i?1nf()g()?nnnii?1?i?1iif()g()]?0 nn,

lim1nn???i?11niif()g()?lim[?f(g)( )]n??nnnnni?1??10f(x)g(x)dx.

4

??24、若?an收敛，则?an收敛.

n?1n?1?解 错误。反例

?n?1(?1)n?1?n收敛,但?n?11n发散.

5、若在R2上定义的函数f(x,y)存在偏导数fx(x,y),fy(x,y) ,且fx(x,y),fy(x,y)在(0,0)上连续，则f(x,y)在(0,0)上可微. 解 正确.书上的定理

证：?z?f(0??x,0??y)?f(0,0)

=(f(0??x,0??y)?f(0,0??y))?(f(0,0??y)?f(0,0)) =fx(0??1?x,0??y)?x?fy(0,0??2?y)?y

有fx(x,y),fy(x,y)在(0,0)上连续，

?f(0??1?x,0)?fx(0,0)??,f(0,0??2?y)?fy(0,0)??

当(?x,?y)?(0,0) 时，?,??0，

?

?z?fx(0,0)?x?fy(0,0)?y???x???y

根据定义，可知f(x,y)在(0,0)上可微.

2226、f(x,y)在R2上连续,Dr(x0,y0)?{(x,y)|(x?x0)?(y?y0)?r},

若?(x0,y0),?r?0,??解：

正确.

Drf(x,y)dxdy?0, 则f(x,y)?0,(x,y)?R.

2用反证法,假若存在一点,使得则存在r?0,使得在

f(x0,y0)?0,不妨设

f(x0,y0)?022,

2Dr(x0,y0)?{(x,y)|(x?x0)?(y?y0)?r}上有f(x,y)?0,

??于是

Drf(x,y)dxdy?0,矛盾.

三、（15分）函数f(x)在(??,??)上连续，且limf(x)?A, 求证：f(x)在(??,??).上有最大值

x?? 5

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