浅谈提高学生解题技能的几种方法

浅谈提高学生解题技能的几种方法

东山中学 贺胜元 摘要：本文从三个方面就如何在中学数学教学中的解题中培养学生的基本技能进行讨论。这三个方面是：一题多解，一题多变，多题一法。 关键词：解法，结论，条件，类型

在中学数学基本技能训练的教学中，适当的进行一题多解，一题多变与多题一法的教学，对激发学生的学习兴趣，提高分析与综合，归纳与演绎的能力，加强基本技能的训练，培养学生的创造性思维是有益的。 一、一题多解

是指从各种不同的角度和思维方法去解同一个习题，随之得到不同的解法。在一章或一个专题的教学结束并做了一定数量基本练习题后，可以适当选有代表性的题，一题多解，串讲所学的知识，激发学生学习的积极性，从一题的多种解法中总结各种方法的特点，培养学生分析与综合问题的能力。应注重问题的一题多解让学生通过探索不同解法的优劣,提高解题能力

例1 已知M(2,-3 )、N（-3，-2），直线L过P（1，1）与线段MN相交，求直线L的斜率k的

取值范围。

解法 1 数行结合法 y 如图，先作出三点M、N、P，

直线L就是PN绕点P逆时针方向 L 转到PM的范围内的动直线。在这个 P 范围内包含了与y轴平行的直线，因 0 x 3kPN?,kPM??4,故由正切函数的 N 43单调性知k??4或k?。 M 4解法 2 用线段的定比分点知识求解 图（1）

设过点P的直线L：y=k(x-1)+1，即kx-y-k+1=0。

令直线L交线段MN交点Q?x1,y1?，即Q是MN的内分点或端点。

?????令Q分MN的比为?，则??0或?不存在（Q与N重合），

所以

{

x1?2?3?,1??

?3?2?y1?.1??2?3?3?2???k?1?0得 (4k?3)??k?4. 1??1??又点Q在直线L上，有k?（1） 当 k?3时，?不存在； 433时，由??0得k??4或k?。 443综合（1）、（2）知，k的取值范围是k??4或k?。

4（2） 当 k?解法3 用线性规划知识求解——主要用符号法则来解。

先设过点P的直线L：y=k(x-1)+1,即kx-y-k+1=0。 由“同侧同号，异侧异号”，且点M、N在L两侧或L上，得

(k?4)(?4k?3)?0得k?3或k??4。 4采取如上的串讲,不仅向学生展示求斜率范围的三种主要方法,并通过对不同解法的比较和评价,可帮助学生总结出解决问题最简捷的方法,提高解题能力 二、一题多变

是指两方面变式，一方面是条件不变，还可以推出那些结论，这些结论之间有什么联系，另一方面，条件改变原结论还成不成立，能推出怎样新结论，推导的途径又与原来的方法有什么不同。

教学中，我们发现相当一部分学生学习的主动性，灵活性较差，讲一个题，就只会一道，对于相似的或变化的题目则不知所解，思路很窄。鉴于此，教学中我们除要培养学生独立思考的习惯外，我们还应注意对一些讲过的例题、学生做过的习题，进行一些变式，适时点拨、引导，以此引发学生探究问题的兴趣，培养学生的探索、变换、延伸等创造性思维，到达举一反三，触类旁通。

例2 过抛物线y2?2px的焦点的一条直线和此抛物线相交，两交点的纵坐标为y1,y2，求证：

y1y2??p2.

p2. 变式1 过抛物线y?2px的焦点作弦PP12，设P1?x1,y1?,P2?x2,y2?，则x1x2?422变式2 若抛物线y2?2px的弦的两端点P的坐标适合（或x,y,Px,yyy??p????12111222p2x1x2?），则弦必过抛物线的焦点。

4变式3过定点A?a,0??a?0?作直线交抛物线y2?2px于P1?x1,y1?,P2?x2,y2?，则

x1x2?a2,y1y2??2pa。

OF|变式4 若过抛物线焦点弦的两端点P1,P2分别作对称轴的垂线，垂足分别为Q1,Q2，则|

为|OQ1|和|OQ2|的比例中项（其中F为抛物线的焦点）。

变式5 若抛物线y?2px的任意弦PP则P12交x轴于A?x3,0?，1,P2,A三点的横坐标x1,x2,x32成等比数列。

变式6 以抛物线的焦点弦为直径的圆与抛物线的准线相切。

变式7 抛物线的焦点弦的端点A,B在抛物线上的射影分别为C,D，则CD为直径的圆与直线

AB相切。

变式8 自抛物线的顶点引互相垂直的两条直线交抛物线于P,Q,求证:直线PQ交对称轴于定点。

这样从一道题，引出一串，帮助学生完善知识结构和认识结构，真正收到由表及里、举一反三、触类旁通的功效，培养了学生思维的广阔性。

例5 limsinxsinxsinx?1,lim?1,lim?0

x?0x?1x??xxx一题多变特别注意条件的细小差别，会导致结论的根本不同，例5中当x趋于不同的值时，得出的结论不同。 三、多题一法

是指按大纲与教材的要求将习题分类，同一类型的题有共同的解题技巧与方法，也就是说，同一类型的题虽然从表面上看，提法，条件结论，都不同，但其解法思路和主要步骤大致相同。我们把这样一类的题归并在一起讲解和组织学生练习，就可以逐步提高学生综合与归纳的能力，并使知识系统化，学生掌握了解题类型的技巧与方法，漫天边际的题海，就会变得有条有理，做起题来，才能左右逢源，运用自如。

例6 在初二数学教学中，求一次函数的题型是多种多样的。

问题1 已知弹簧的长度y（厘米）在一定的限度内是所挂重物质量x（千克）的一次函数。现以测得不挂重物是弹簧的长度是6厘米，挂4千克质量的重物时，弹簧的长度是7.2厘米。求这个一次函数的关系式。

问题2 已知一次函数的图象如图,写出它的关系式。 Y 0 1 X -1

问题3 已知一次函数y?kx?b通过如下表的点,写出它的关系式。

x y -2 0 0 -3 问题4 一次函数y?kx?b的图象过点??2,0?和点?0,?3?。求一次函数y?kx?b。

这些问题都是已知y与x的函数关系是一次函数，即关系式为y?kx?b的形式，所求的都

是系数k和b的值。它们有相同的解法：待定系数法。把这诸多问题摆在一起再用同一方法去求解，而不是把它们分开在几次课分别去求解，能达到提高学生综合与归纳的能力，并使知识系统化，学生掌握了解题类型的技巧与方法的效果。

一题多解，一题多变与多题一法之间是互相联系的，有的也难绝对分开，必须强调说明的，这些都是在抓好基础知识的基础上，结合基本训练的教学进行的。在教学时，一定要精心安排，切忌牵强附会与操之过急，要按学生实际适当选择内容，有针对性地教学，使学生各方面的能力真正得到提高。

参考文献

[1]王淑茂，借题发挥 适当渗透拓展[J] 数学教学研究 2005年第2期 [2] 周万林， 新教材“解析几何”教学中加强变式教学的认识与实践[J] 数学教学研究 2005年第3期

[3]郑隆 ，高等师范教学教育研究[M] 武昌喻家山 华中科技大学出版社 [4]黄忠吟等 初中数学教案优化设计[M] 青少年出版社新疆 2005年1月

Shallowly discussed enhances the student problem solving skill several methods

Huang Lixia

Class(1) Grade 01 Maths Department

Instructor: Zhou Ge

Abstract: How does this article on raise student's basic skill from three aspects in the middle school

mathematics teaching problem solving to carry on the discussion. These three aspects are: Topic multi- solutions, a topic is changeable, a multi- topics law.

Key word: Solution, conclusion, condition, type

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