上海市闵行区2013届高三数学一模试卷（文理卷 - 含答案）(2)

（文）（本题满分16分）本题共有3个小题，第(1)小题满分4分，第(2)小题满分6分，第

(3)小题满分6分．

已知函数f(x)?loga1?x1?x

(0?a?1).

（1）求函数f(x)的定义域D，并判断f(x)的奇偶性； （2）用定义证明函数f(x)在D上是增函数；

（3）如果当x?(t,a)时，函数f(x)的值域是???,1?，求a与t的值. 解：

23.（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小

题满分8分．

2*?2an?1(n?N)． 设数列{an}的各项均为正数，前n项和为Sn，已知4Sn?an(1)证明数列{an}是等差数列，并求其通项公式；

*(2)证明：对任意m、 k、 p?N， m?p?2k，都有

1Sm?1Sp?2Sk；

(3)对于(2)中的命题，对一般的各项均为正数的等差数列还成立吗？如果成立，请证明你的结论，如果不成立，请说明理由． （文）（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分5分，第2小题满分5分，第3

小题满分8分．

2*设数列{an}的各项均为正数，前n项和为Sn，已知4Sn?an?2an?1(n?N) (1)证明数列{an}是等差数列，并求其通项公式；

(2)是否存在k?N*，使得Sk2?ak?2048，若存在，求出k的值；若不存在请说明理由； (3)证明：对任意m、 k、 p?N， m?p?2k，都有解：

*21Sm?1Sp?2Sk．

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闵行区2012学年第一学期高三年级质量调研考试数学试卷

参考答案与评分标准

说明：

1．本解答仅列出试题的一种或两种解法，如果考生的解法与所列解答不同，可参考解答中的评分标准进行评分．

2．评阅试卷，应坚持每题评阅到底，不要因为考生的解答中出现错误而中断对该题的评阅，当考生的解答在某一步出现错误，影响了后继部分，但该步以后的解答未改变这一题的内容和难度时，可视影响程度决定后面部分的给分，这时原则上不应超过后面部分应给分数之半，如果有较严重的概念性错误，就不给分．

2?2i；3；一、（第1题至第14题） 1． 2． 3． 4． ?2；2；(?1,1)； 5． 6．20； 7．理?13，文r??1； 8．5； 9．理

2325，文200； 10．24；

11．理a?2或a?5，文a?1或a?3； 12．理

(?4,?2)，文15．

，文

13； 13．理15，文5； 14．理

二、（第15题至第18题） 15．A； 16．B； 17．A； 18．D． 三、（第19题至第23题）

19. [解] (1)f(x)?2sinxsinx?cosx3(sinx?cosx)?sin2x?3cos2x?2sin(2x??) ?3分

cosx3来源[Zxxk.Com]所以函数f(x)的最小正周期为? ???????3分(2)y?f(x??2)?2sin[2(x?

?2)??3]?2sin(2x?2?3) ?????????2分

?2?2??2? ]，∴??2x??，?1?sin(2x?∵x?[0，)?2333323 ?????2分

∴y?[?2， 3]. ???????2分 另解：y?f(x??2)?2sin[2(x??2)??3]?2sin(2x??3??)??2sin(2x??3) ?2分

???4? ]，∴?2x??∵x?[0，，?233332?sin(2x??3)?1 ????????2分

∴?2??2sin(2x??3)?3，即y?[?2， 3]. ??????????2分

20. [解]（理）（1）由于学生的注意力指数不低于80，即y?80

当0?x?8时，由2x?68?80得6?x?8； ????2分 当8?x?40时，由?18(x?32x?480)?80得8?x?16?46；????2分

2所以x??6,16?46?，16?46?6?10?46?20

??故学生处于“理想听课状态”所持续的时间有20分钟. ?????3分

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（2）设教师上课后从第t分钟开始讲解这道题，由于10?46?24

所以t??0,6? ??????????????????????2分 要学生的注意力指数最低值达到最大，只需f(t)?f(t?24)

即2t?68??[(t?24)2?32(t?24)?480] ???????????2分

81解得t?86?16?4 ???????????????2分 所以，教师上课后从第4分钟开始讲解这道题，能使学生的注意力指数最低值达到最

大. ???????????????????????????1分 （文）（1）设直线l的方程为y?x?m，

|m|2则有?3，得m??6 ??????????????3分

又切点Q在y轴的右侧，所以m??6，???????????2分 所以直线l的方程为y?x?（2）设A(x1,y1),B(x2,y2)

?y?x?6?2由?x2y2得7x?86x?12?0 ??????????2分

??1?3?4x1?x2?867,x1x2?1276 ?????????????2分

|AB|?1?1|x1?x2|?2(x1?x2)?4x1x2?|1?26|246712 ?????2分

又F(1,0)，所以F到直线l的距离d?1227?(23?2) ??2分

所以?ABF的面积为|AB|d?(32?23) ?????1分

21. [解]（理）（1）设直线l的方程为y?x?m，

|m|2则有?3，得m??6 ??????????????3分

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又切点Q在y轴的右侧，所以m??6，???????????2分 所以直线l的方程为y?x?6 ?????????????2分

（2）因为?AOQ为直角三角形，所以|AQ|?x12OA?OQ22?x1?y1?322[来源:学&科&网Z&X&X&K]

又

4?y132?1得|AQ|?12x1 ?????????????????2分

22|AF|?(x1?1)?y 又

221x14?y13?1得|AF|?2?12x1 ?????2分

所以|AF|?|AQ|?2，同理可得|BF|?|BQ|?2 ?????2分 所以|AF|?|AQ|?|BF|?|BQ| ?????????????????1分 （文）（答案与评分标准同理科第20题） 22. [解]（理）（1）令

1?x1?x?0，解得?1?x?1,D???1,1??????2分

?1?x?对任意x?D,f(?x)?loga?loga??1?x?1?x?1?x?1?1?x???loga????f(x)

?1?x?所以函数f(x)是奇函数. ?????????????????????2分

1?x?1?x??loga???loga1?0 1?x?1?x?另证：对任意x?D,f(?x)?f(x)?loga所以函数f(x)是奇函数. ?????????????2分 （2）由

1?x1?x??1?2x?1知，函数g(x)?1?x1?x在??1,1?上单调递减，

因为0?a?1，所以f(x)在??1,1?上是增函数 ?????????2分 又因为x?(t,a)时，f(x)的值域是???,1?，所以(t,a)?(?1,1) 且g(x)?1?x1?x在(t,a)的值域是(a,??)，

1?a1?a?a且t??1（结合g(x)图像易得t??1）?????2分

故g(a)?2a?a?1?a解得a?2?1（?2?1舍去）．

所以a?2?1，t??1 ?????????????2分

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（3）假设存在x3?(?1,1)使得f(x1)?f(x2)?f(x3) 即loga1?x11?x1?loga1?x21?x2?loga1?x31?x3

loga(1?x31?x11?x21?x11?x21?x3， ?)?loga???1?x11?x21?x31?x11?x21?x3x1?x21?x1x2解得x3?， ?????????????3分

?x1?x2?x?x2?(?1,1),即证：下证：x3?1???1．

1?x1x2?1?x1x2?22222222?x1?x2?(x1?x2)?(1?x1x2)x1?x2?1?x1x2(1?x1)(1?x2)???证明：? ??1?2221?xx(1?xx)(1?xx)(1?xx)?12?12121222222 1?x2?0，(1?x1x2)?0 ?x1，x2?(?1， 1)，∴1?x1?0，∴

(1?x1)(1?x2)(1?x1x2)222?x?x2??x1?x2??0，即?1?1?0，∴????1

?1?x1x2??1?x1x2?22所以存在x3?x1?x21?x1x2?(?1,1)，使得f(x1)?f(x2)?f(x3) ?????3分

2?x?x2?2222另证：要证明?1??1，即证(x1?x2)?(1?x1x2)，也即(1?x1)(1?x2)?0．

?1?x1x2??x1,x2?(?1,1)，∴1?x1?0,1?x2?0,∴(1?x1)(1?x2)?0，

2222?x1?x2?∴???1． ?1?x1x2?2所以存在x3?（文）（1）令

x1?x21?x1x21?x1?x?(?1,1)，使得f(x1)?f(x2)?f(x3) ?????3分

?0，解得?1?x?1,D???1,1? ?????2分

[来源学科网ZXXK]

?1?x?对任意x?D,f(?x)?loga?loga??1?x?1?x?1?x?1?1?x???loga????f(x)

1?x??所以函数f(x)是奇函数. ?????2分

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