第16章变化电磁场(3)

由对称性及力平衡条件

得： （1）

由于外力作用，r在收缩过程中回路内产生的感应电流：

将代入（1）式得：

得：

由初始条件 ，，，

两边积分

【例16-4】在磁感应强度为OO'以匀角速度

的均匀磁场内，有一面积为S的矩形线框，线框回路的电阻为R（忽略自感），线框绕其对称轴

旋转（如题图16-4所示）。

（1）求在如图位置时线框所受的磁力矩为多大？

（2）为维持线框匀角速度转动，外力矩对线框每转一周需作的功为多少？

【解】（1）在任一位置时通过线框的磁通量

（1）

在线框内产生的感生电动势

流过线框的感应电流

（2）

（3）

线框的磁矩

线框所受的磁力矩的大小为

写成矢量形式

也就是磁力矩的方向（的方向）与方向相反。

平衡，就是

（2）方法一，要维持线框作均匀速转动，必须作用在线框上的合外力矩M和磁力矩

或

外力矩对线框每转一周所作的功：

方法二，外力所作的正功与磁力所作的负功大小相等时线框将维持匀角速转动。我们计算磁力所作的功

将（1）式中的和（3）式代入上式，得

这里应注意到磁力的功不能用分来计算。所以外力矩的功

来计算，因为线框转动一周

为零，但在转动过程中感应电流

不是常量，所以必须用上述积

方法三，用能量守恒定律来解，外力矩作了功，绕框旋转一周后，其它状态没有产生变化，只是感生电动势和感生电流在绕框中产生焦

耳楞次热。交流电一个周期所产生的焦耳热就是外力矩所作的功。即：

将（2）式代入上式得

若需计算外力矩的平均功率，则

上式实际上也就是交流电输出的功率。

【例16-5】如图电路中，电源电动势为候，将开关K合上，求： （1）

两端的电压随时间的变化；

（内阻不计，纯电感L及、均为已知）。在电路、L、到达稳定状态的时

（2）K合上长时间后K再断开，求

两端电压随时间的变化。

【解】（1）K合上任一时刻，电路微分方程为：

分离变量并积分，注意到电感上的电流不能突变。

初始条件流过电感L的电流，

将上式分离变量后积分：

积分得：

即：

式中即为两端的电压U，所以

（2）断开后任一时刻电路微分方程为：

分离变量并积分，并注意到电感中的电流不能突变，这里的的

积分得：

得：

此式中的即为两端的电压，移项后得：

）电阻

两端的电压

由此结果可知，当开关K断开瞬时（

如

时，

两端就会产生很高的电压，如果

是电压表或者晶体管元件，如未加保护措施，则很可能会损坏电路元件，因

此在有电感元件的电路里要特别注意。

【例16-6】如图所示，自感系数为L，边长为a的正方形铜圈，电阻很小可忽略不计，铜圈保持以匀角速铜圈所在处磁感应强度均匀为B，方向沿x轴正向。

绕y轴匀速转动，

（1）开始时，铜圈中电流为零，求铜圈中任一时刻中的电流；

（2）求当铜圈中的法线从到转过的过程中磁力的功。

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