第2章 随机过程与噪声(3)

这是又一个在数学手册上有数值和曲线可查的特殊函数，且有?????1。

Q(x)函数是一种经常用于表示高斯尾部曲线下的面积的函数，其定义为

?edt x?0 （2.4-13） 2?x?x?a?借助该函数可以计算概率P???x??Q??。

??? 比较式（2.4-10）和式（2.4-13），可得

Q?x??1???x??1??t221?x?erfc?? （2.4-14） 22??1?x? ??x??1?erfc?? （2.4-15）

2?2? Q?x?? erfc?x??2Q?2x?2?1???z?a??2x? （2.4-16）

??现在利用以上特殊函数与式（2.4-8）进行联系，以表示正态分布函数F(x）。若对式（2.4-8）进行变量代换，令新积分变量t?则有

?，有dz??dt，并与式（2.4-12）联系，

?x?a?? （2.4-17） ???z?a若对式（2.4-8）进行变量代换，令新积分变量t?并利用式（2.4-6）， ，有dz?2?dt，2? F?x????则还可得到

?11?x?a??erf?22??2????? F?x????x?a??1?1erfc? ????2???2x?a （2.4-18）

x?a在分析通信系统的抗噪声性能时常用误差函数或互补误差函数表示F(x)。

2.4.4 高斯白噪声

1、白噪声

在通信系统中，常会遇到这样一类噪声，它的功率谱密度均匀分布在整个频率范围内，即

n0 ????f???? (2.4-19) 2或 Pn?f??n0 ?0?f???? (2.4-20)

Pn?f??这类噪声被称为白噪声，用n(t)表示。式中n0为一常数，单位是W/HZ。

式(2.4-19)表示双边功率谱密度，如图2-4（a）所示，而式(2.4-20)为单边功率谱密度。将式(2.4-19)取傅里叶反变换，可得到白噪声的自相关函数，即

n0???? (2.4-21) 2（即??0）如图2-4（b）所示，这表明，白噪声仅在??0才相关，而在任意两个时刻上的

R????随机变量都是互不相关的。

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p???n02n0????2f0(b)τ0(a)图2-4 白噪声功率谱密度与自相关函数

如果白噪声是高斯分布的，就称之为高斯白噪声。由式(2.4-21)和高斯过程的性质可知，高斯白噪声在任意两个不同时刻上的取值之间，不仅是互不相关的，而且还是统计独立的。

应当指出，真正“白”的噪声是不存在的，它只是构造的一种理想化的噪声形式，目的是为了使问题的分析大大简化。在实际中，只要噪声的功率谱是均匀分布的，频率范围远远大于通信系统的工作频带，就可以把它视为白噪声。例如，在第3章中将要讨论的热噪声和散粒噪声均是近似白噪声的例子。

2、低通白噪声

如果白噪声通过理想矩形的低通滤波器或理想低通信道，则输出的噪声称为低通白噪声。假设白噪声的双边功率谱密度为n0/2，理想低通滤波器的传输特性为

H?????则可得输出的功率谱密度为

?K0,?0,2???H其它2

P0????H(?)Pi????K0?其自相关函数为

n0,???H (2.4-22) 2R0????

12?fH?fH2????P0???ej?td?2??K0?K0n0fHn0j2?f?edf (2.4-23) 2sin?H??H?R0???2k0n0fH 对应的曲线如图2-5所示。式中，?H?2?fH。

P0???n02K02??fH12fH12fH0（b)自相关函数0(a)功率谱密度fH??图2-5 带限白噪声的功率谱和自相关函数

由图2-5（a）可见，输出噪声的功率谱密度被限制在f?fH内，在此范围外则为零，通常把这样的噪声也称为带限白噪声。

由图2-5（b）可见，这种带限白噪声仅在??k/2fH?k?1,2,??上得到的随机变量才互不相关。也就是说，如果对带限白噪声按抽样定理抽样的话，则各抽样值是互不相关的随机变量，这个概念很重要。

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3、带通白噪声

如果白噪声通过理想矩形的带通滤波器或理想带通信道，则输出的噪声称为带通白噪声。

设理想带通滤波器的传输特性为

??1H?f?????0式中，fc为中心频率，B为带通宽度。

则其输出的噪声的功率谱密度为

fc?BB?f?fc?22 (2.4-24)

其它BB?n0,f??f?f?cc?2222? (2.4-25) P0?f??H?f?Pi?f????0,其它??利用P0????R0???，则得输出噪声的自相关函数为

R0?????P0?f?ej2?f?df?????B2B?fc?2?fc?Bfc?nn0j2?f?edf??B20ej2?f?df (2.4-26)

fc?222?n0Bsin?B?cos2?fc??B?其平均功率为

N0?R0?0??n0B （2.4-27） 理想带通白噪声的功率谱和自相关函数对应曲线如图2-6所示。

Pn?f?BBn02?fc0(a)功率谱密度R???fcf?1B(b) 自相关函数图2-6 理想带通白噪声的功率谱和自相关函数

通常，带通滤波器的B??fc，因此也称窄带滤波器，相应的把带通白噪声称为窄带高斯白噪声。因此，它的表达式和统计特性与一般窄带随机过程相同。 2.5 窄带高斯噪声

所谓窄带随机过程??t?，是指它的频谱密度集中在中心频率fc附近相对窄的频带范围

?f内，即满足?f??fc条件，且fc远离零频率。实际中，大多数通信系统都是窄带带通

型的，通过窄带系统的信号或噪声必然是窄带随机过程。如果用示波器观测某一次实现的波形，则它是一个频率近似为fc，包络和相位随机缓慢变化的正弦波，如图2-7所示。

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因此，窄带随机过程??t?可用下式表示 ??t??a??t?cos?ct????t??f??a??t??0 （2.5-1）

S?f??f?fc0(a)S(t)缓慢变化的包络[a(t)]fcf0t频率近似为(b)fc图2-7 窄带过程的频谱和波形示意图式中，a??t?和???t?分别为??t?的随机包络和随机相位，也是随机过程。

上式利用三角函数和角公式，可写成

式中

??t??a??t??cos???t?cos?ct?sin???t?sin?ct??a??t?cos???t?cos?ct?a??t?sin???t?sin?ct （2.5-2） ??c?t?cos?ct??s?t?sin?ct ?c?t??a??t?cos???t? （2.5-3） ?s?t??a??t?sin???t? （2.5-4）

?c?t?及?s?t?分别称为??t?的同相分量和正交分量，也是随机过程。显然，它们的变化相对于载波cos?ct的变化要缓慢得多。 由式（2.5-1）～（2.5-4）可看出，??t?的统计特性可由a??t?，???t?或?c?t?，?s?t?的统计特性确定。反之，如果已知窄带过程??t?的统计特性，可确定a??t?，???t?以及

?c?t?，?s?t?的统计特性。

如果??t?的概率密度函数为高斯分布，则称为窄带高斯过程或窄带高斯噪声。 2.5.1窄带高斯噪声统计特性

???t?设窄带随机过程是平稳高斯窄带过程，且均值为零，方差为??。现在分析a??t?，

2或?c?t?，?s?t?的统计特性。

1、?c?t?和?s?t?的统计特性 对式（2.5-2）求数学期望，有

因为??t?平稳且均值为零，那么对于任意的时间t都有E???t???0，所以由式（2.5-5）

可得

?E??C?t??cos?ct?E??s?t??sin?ct （2.5-5）

E???t???E??C?t?cos?ct??s?t?sin?ct?

E??c?t???0???? ? （2.5-6） E????s?t????0?

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??t?的自相关函数

R??t,t????E???t???t?????

Rc?t,t???cos?ctcos?c?t????Rcs?t,t???cos?ctsin?c?t????Rsc?t,t???sin?ctcos?c?t????Rs?t,t???sin?ctsin?c?t???

（2.5-7）

Rc?t,t????E??c?t??c?t????其中

Rcs?t,t????E??c?t??s?t????Rs?t,t????E??s?t??s?t????Rsc?t,t????E??s?t??c?t????

因为??t?是平稳的，故有

R??t,t????R????

这就要求式（2.5-7）的右边也应该与t无关，而仅与时间间隔?有关。因此，若令t=0,则式（2.5-7）仍应成立，即有

R?????Rc?t,t???cos?c??Rcs?t,t???sin?c? （2.5-8） 这时，应有

Rc?t,t????Rc???Rcs?t,t????Rcs???

故式（2.5-8）变为

R?????Rc???cos?c??Rcs???sin?c? （2.5-9） 再令t??，同理可得 2?cR?????Rs???cos?c??Rsc???sin?c? （2.5-10）

Rs?t,t????Rs???Rsc?t,t????Rsc???

其中有

与?s?t?也是平稳的。

由以上数学期望和自相关函数分析可知，如果窄带高斯过程??t?是平稳的，则它的?c?t?进一步分析，式（2.5-9）和（2.5-10）应同时成立，故有

Rc????Rs??? （2.5-11）

可见，同相分量?c?t?和正交分量?s?t?具有相同的自相关函数，而且根据互相关函数的性质，应有

Rcs????Rsc????

将上式代入（2.5-12），可得

Rsc?????Rsc???? （2.5-13） 同理可得

Rcs?????Rcs???? （2.5-14）

Rcs?????Rsc??? （2.5-12）

式（2.5-13）和式（2.5-14）说明，?c?t?和?s?t?的互相关函数Rsc???、Rcs???都是?的奇

函数，在??0时，有

Rsc?0??Rcs?0??0 （2.5-15） 于是，由式（2.5-9）及（2.5-10）可得

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