第五章 定积分(6)

??于是原式= =

??20asint.cost.cost.dt=?02a4sin2t.(1?sin2t)dt

?42?20asint.dt-?42204?1?31??a?asint.dt=a?.?..??. ] ?22422?164246. –1 [ 解析：对

?2x0f(t)dt?cosx?1两边关于X求导得：

1sinx 21t1x 令2x=t 得 f(t)??sin 即f(x)??sin

22221xxxx??? 于是?0f(x)dx=?0(?sin)dx=??0sind()=cos22222x ?f(2x)?? f(2x).2??sin?0??1. ]

???costcosx027. [ 解析：令x??t,则I =???dx=?0dx

24sinx?cosxcost?sint2? I=

?20sinxsinx2dx+?0dx=

sinx?cosxsinx?cosx???20dx??2. 所以I=

?. ] 4dysinx2y2'?y22.2x?0 8. =?2esinx [ 解析：在方程两边关于X求导，e.y?dxx 于是y??'2sinx2ey2??2e?ysinx2. ]

29. -

11b2b'b [解析：?axf(x)f(x)dx=?axf(x)df(x)=?axdf(x) 22

1211b2b222xf(x)b?f(x)dx[xf(b)?xf(a)]=-a?aaf(x)dx ?22211=0??1??. ]

22=10.

???11 [解析：由于?0f(x)dx.为一常数，所以可令?0f(x)dx.=c 2e11?x2?ex.c

11?x2从而有f(x)=

对上式求定积分得：

?10f(x)dx.=?10xdx?c?10edx

即c=

?1011?x2xdx?c?10edx

于是c=arcsinx0?c(e)， c=

01x1?2?c(e?1) ?c??2e

即

?10f(x)dx.=

? .] 2e11. 解析：（I）当k??1时，

???0xkdx=lnx??0?limlnb?limln??b?????0?广义积分发散

(II) 当k??1时,

???0xk?1xdx?k?1k??0bk?1?k?1?lim?lim b???k?1??0?k?1bk?1?k?1??? ,而lim?0 故广义积分发散 当k??1时, limb???k?1??0?k?1bk?1?k?1?0 ,而lim?? 故广义积分发散 当k??1时, limb???k?1??0?k?1所以对任意的实数k，广义积分均发散 。 12．解析：令x?t 则

???0xe?xdx??2t2e?tdt???tde?t??te?t00??2??22??0????0e?tdt

2 =四、证明题

???0e?tdt?2?2

解析：只须令从而

?a0f(x)dx.?A 即得 f(x)?x2?A

?a0aaf(x)dx.=?0(x2?A)dx 即A=?0(x2?A)dx

1313a?(Ax)0所以A=x， A=a?Aa 303aa3a3aA= 即?0f(x)dx.=

3(a?1)3(a?1)

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