江西省宜春市2014届高三模拟考试数学理试题（word版）(2)

18．解：（1）OB//MN，OBú平面CMN?OB//平面CMN OA//MC，OAú平面CMN?OA//平面CMN OAOB?O，∴平面OAB//平面CMN，又AB?平面OAB， ∴AB//平面CMN……………………………………………………4分

（2）分别以OB,OM,OA为x,y,z轴建立坐标系， 则A(0,0,2)，B(2,0,0)，M(0,1,0)，C(0,1,1)，N(1,1,0)，

∴AC?(0,1,?1)，NC?(?1,0,1)，设平面ANC的法向量为n?(x,y,z)，

??n?AC?y?z?0则有?，令x?1，得n?(1,1,1)，而平面CMN的法向量为：

??n?NC??x?z?0OM?n1?(0,1,0)，|cos?n,n1?|?n?n13……………………8分 ?|n|?|n1|3（3）MC?(0,0,1)，由（2）知平面ANC的法向量为：n?(1,1,1)， ∴d?|MC?n|3…………………………………………………………12分 ?3|n|19．解：（1）∵a1?0，∴a2?2?|a1|?2?a1，a3?2?|a2|?2?|2?a1|． （ⅰ）当0?a1?2时，a3?2?|2?a1|?2?(2?a1)?a1， 由a1，a2，a3成等比数列得：

∴(2?a1)2?a1?a3?a12，解得a1?1．……………………3分 （ⅱ）当a1?2时， a3?2?|2?a1|?2?(a1?2)?4?a1

∴a1(4?a1)?(2?a1)2，解得a1?2?2（舍去）或a1?2?2． 综上可得a1?1或a1?2?2．……………………………………6分 （2）假设这样的等差数列存在，则

由2a2?a1?a3，得2(2?a1)?a1?(2?|2?a1|)，即|2?a1|?3a1?2．

（ⅰ）当0?a1?2时，2?a1?3a1?2，解得a1?1，从而an?1（n?N?），此时{an}是一个等差数

列；………………………………………………………………9分

（ⅱ）当a1?2时，a1?2?3a1?2，解得a1?0，与a1?2矛盾；

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综上可知，当且仅当a1?1时，数列{an}为等差数列．………………12分

x2y23-=1的一渐近线斜率值为20．解：（I）由题意知双曲线

432c3c2a2-b232e==,所以e=2==,所以a2=4b2， 2a2aa4x2=1，所以a=4,b=1．故椭圆C的方程为+y2=1 ???????5分 因为b=4sin2a+cos2a122（Ⅱ）设A(x1,y1),B(x2,y2),P(x,y)AB方程为y?k(x?3)

?y?k(x?3)?由?x22??y?1?4由??24k2222整理得1?4kx?24kx?36k?4?0．

???22?1?4?1?4k2???36k2?4??0，解得k2?．

524k236k2?4x1?x2?，x1?x2? ………………7分 221?4k1?4k124k2∴OA?OB??x1?x2,y1?y2??t(x,y) 则x?(x1?x2)?,

tt?1?4k2?1?6k， 由点p在椭圆上，代入椭圆方程得 y?(y1?y2)?2tt?1?4k?36k2?t2(1?4k2)① ………………9分

22(x?x)?4x1?x2?又由AB?3，即(1?k)?12???3，

24k236k2?4将x1?x2?，x1?x2?， 221?4k1?4k222代入得8k?1?16k?13?0则8k?1?0,

????111k2?， ∴?k2?② …………11分

85836k223?t?4 由①，得t?，联立②，解得21?4k2∴3?t?2或?2?t??3 ………………13分 21．解析：（1）由f(x)?x?x?bx

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32得f?(x)?3x2?2x?b 因f(x)在区间[1，2]上不是单调函数 所以f?(x)?3x2?2x?b在[1，2]上最大值大于0，最小值小于0

11f?(x)?3x2?2x?b?3(x?)2?b?

33f?(x)max?16?b ∴?16?b??5……………………………………4分

f?(x)min?5?b（2）由g(x)??x2?(a?2)x，得(x?lnx)a?x2?2x．

x?[1,e],?lnx?1?x，且等号不能同时取，?lnx?x，即x?lnx?0 x2?2xx2?2x?a?)min…………………………6分 恒成立，即a?(x?lnxx?lnxx2?2x(x?1)(x?2?2lnx),(x?[1,e])，求导得，t?(x)?令t(x)?， 2x?lnx(x?lnx)当x?[1,e]时，x?1?0,0?lnx?1,x?2?2lnx?0，从而t?(x)?0，

?t(x)在[1,e]上为增函数，?tmin(x)?t(1)??1，

?a??1．…………………………………………………………8分

??x3?x2,x?1（3）由条件，F(x)??，

x?1?alnx,假设曲线y?F(x)上存在两点P，Q满足题意，则P，Q只能在y轴两侧，……9分 不妨设P(t,F(t))(t?0)，则Q(?t,t3?t2)，且t?1．

?POQ是以O为直角顶点的直角三角形，?OP?OQ?0，

， ??t2?F(t)(t3?t2)?0 （*）

是否存在P，Q等价于方程(?)在t?0且t?1时是否有解．

①若0?t?1时，方程(?)为?t2??t3?t2t3?t2?0，化简得t4?t2?1?0，此方程无

解；………………………………12分

②若t?1时，方程(?)为?t2?alnt?t3?t2?0，即设h?t???t?1?lnt?t?1?，则h??t??lnt??1，

显然，当t?1时，h??t??0，即h?t?在?1,???上为增函数，

??????1??t?1?lnt， a1t?h?t?的值域为?h?1?,???，即?0,???，?当a?0时，方程（*）总有解．

?对任意给定的正实数a，曲线y?F(x) 上总存在两点P，Q，使得?POQ是以O（O为坐标原点）为

直角顶点的直角三角形，且此三角形斜边中点在y轴上．…………14分

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