六校教研协作体2013届高二联考理科数学试题(2012.5.9)(2)

当??0，即?1?m??3时，直线l1与C1没有公共点； -----------------------10分 当??0，即m??3时，直线l1与C1有且只有一个公共点； -----------------------11分 当??0，即m??3时，直线l1与C1有两个公共点． -----------------------12分 17．解析：（Ⅰ）∵三棱柱ABC?A1B1C1为直三棱柱， ∴AA1?底面ABC，

又AB?底面ABC，∴AA1?AB， （直接得到扣1分） -----------------------------2分

?在?ABC中，AB?1，AC?3，?ABC?60，

由正弦定理得sin?ACB?AB?sin?ABC?AC1?32?1，故?ACB?30?，

23?∴?BAC?90，即AB?AC． --------------------------------4分

又AC?AA1?A，∴AB?平面ACC1A1，

又AC．-----------------------6分 ?平面ACC1A1，∴AB?AC11D，连结BD． （Ⅱ）法1：如图，作AD?AC1于点1交AC由（Ⅰ）知，AB?AC，又AB?AD?A， 1∴AC?平面ABD，又BD?平面ABD， 1∴BD?AC1，----------------------9分

∴?ADB为二面角A?AC1?B的平面角， --------------------------------10分 在Rt?AAC1中，AD?AA1?AC3?36， ??AC261AB6?， AD3在Rt?BAD中，tan?ADB?∴cos?ADB?1515，即二面角A?AC1?B的余弦值为．--------------------------------14分 55法2：（Ⅰ）∵三棱柱ABC?A1B1C1为直三棱柱， ∴AA1?AB，AA1?AC，

理科数学 第6页 共11页

?在?ABC中，AB?1，AC?3，?ABC?60，

由正弦定理?ACB?30，

?∴?BAC?90，即AB?AC．

0如图，建立空间直角坐标系， 则A(0,0,0)，B(1,0,0)，C(0,3,0)，A1(0,0,3)，

????????∴AB?(1,0,0)，AC?(0,3,?3)， 1????????∴AB?AC?1?0?0?3?0?(?3)?0， 1∴AB?AC．--------------------------------6分 1????（Ⅱ）如图，可取m?AB?(1,0,0)为平面AAC的法向量， 1设平面A1BC的法向量为n?(x,y,z)，

????????????则BC?n?0，AC,3,0)， 1?n?0，又BC?(?1???x?3y??x?3y?0∴?，∴?，

???z?y?3y?3z?0不妨取y?1，则n?(3,1,1)， --------------------------------11分

cos?m,n??m?n3?1?1?0?1?015??， ------------------------13分

222222|m|?|n|5(3)?1?1?1?0?0∴二面角A?AC1?B的余弦值为15． --------------------------------14分 518．解析：（Ⅰ）由题意知，当x?10时， u?28，

212585)?，解得k?2， ------------4分 48212585]， x?(6,??)．------------6分 （Ⅱ）年销售利润y?(x?6)?u?(x?6)?[?2(x?)?48 ∴28??k(10? ?(x?6)?(?2x?21x?18)， （没有定义域扣1分）

∴y???2x?21x?18?(x?6)(?4x?21) -------------------------8分 ??6(x222(6,??) ，x??11x?18)??x6(?x2)(?9)理科数学 第7页 共11页

令y??0得，x1?2（舍去）或x2?9， -------------------------10分 当x?(6,9)时，y??0；当x?(9,??)时，y??0； -------------------------12分 因此，x?9是利润函数的极大值点，也是最大值点．故ymax?135万元． 所以当售价为9元时，最大年利润为135万元． -------------------------14分 19．解析：（Ⅰ）由题意可知，b?1，而

解得a?2， 所以，椭圆的方程为

c3222，且a?b?c． ?a2y l P B A O M F D N x E x?y2?1．-------------------------6分 42（Ⅱ）法1：由题可得A(?2,0),B(2,0)．设P(x0,y0)， 直线AP的方程为y?y0(x?2)， x0?2令x?22，则y??(22?2)y0?(22?2)y0，即E?22,； -------------------------8分 ???x0?2?x0?2?直线BP的方程为y?y0(x?2)， x0?2?(22?2)y0?(22?2)y0令x?22，则y?，即F?22,； -------------------------10分 ???x?2x0?20???(22?2)y0??(22?2)y0?2EF以线段为直径的圆为(x?22)??y????y???0，

x?2x?200????2(22?2)(22?2)y0令y?0，得(x?22)??0， 2x0?4224y0∴(x?22)?， 24?x022x0222?y0?1，即4y0而， ?4?x04∴(x?22)2?1，∴x?22?1或x?22?1．

所以以线段EF为直径的圆必过x轴上的定点(22?1,0)或(22?1,0)．----------------14分 法2：由题可得A(?2,0),B(2,0)．设P(x0,y0)，E(22,yE)，F(22,yF)．

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直线AP的方程为y?y0(22?2)y0； (x?2)，令x?22，则yE?x0?2x0?2y0(22?2)y0； (x?2)，令x?22，则yF?x0?2x0?2yE?yF|y?yF|)，半径r?E，----------------9分 22直线BP的方程为y?∴以线段EF为直径的圆的圆心为(22, yE?yF2|yE?yF|2)?则圆的方程为：(x?22)?(y?， 242令y?0，得(x?22)2??yE?yF， ----------------11分

2(22?2)y0(22?2)y04y0又因为yE?yF?， ??2x0?2x0?2x0?42x0222?y0?1，即4y0而，∴yE?yF??1， ?4?x04∴(x?22)2?1，∴x?22?1或x?22?1．

所以以线段EF为直径的圆必过x轴上的定点(22?1,0)或(22?1,0)． -------------14分 20．解析：（Ⅰ）当a?3时，f?x???21332x?x?2x，得f'?x???x2?3x?2． 32因为f'?x???x?3x?2???x?1??x?2?， -------------------------2分 所以当1?x?2时，f??x??0，函数f?x?单调递增； 当x?1或x?2时，f??x??0，函数f?x?单调递减．

所以函数f?x?的单调递增区间为?1,2?，单调递减区间为???,1?和?2,???． ----------4分 （Ⅱ）方法1：由f?x???13a2x?x?2x，得f'?x???x2?ax?2， 32因为对于任意x??1,???都有f'(x)?2(a?1)成立， 即对于任意x??1,???都有?x?ax?2?2(a?1)成立，

2即对于任意x??1,???都有x?ax?2a?0成立， -------------------------6分

2令h?x??x?ax?2a，要使对任意x??1,???都有h?x??0成立，

2理科数学 第9页 共11页

?a2?8a?0,???0,???a?a2必须满足??0或??1,，即a?8a?0或??1,

2??2???1?a?0.?h?1??0.所以实数a的取值范围为??1,8?． -------------------------9分 方法2：由f?x???13a2x?x?2x，得f'?x???x2?ax?2， 32因为对于任意x??1,???都有f'(x)?2(a?1)成立，

所以问题转化为，对于任意x??1,???都有?f'(x)?max?2(a?1)． -------------------------6分

aa?a2?因为f??x????x????2，其图象开口向下，对称轴为x?．

22?4?①当

2a?1时，即a?2时，f'?x?在?1,???上单调递减， 2所以f'?x?max?f'?1??a?3，由a?3?2?a?1?，得a??1，此时?1?a?2． ②当

a?a??a??1时，即a?2时，f'?x?在?1,?上单调递增，在?,???上单调递减， 2?2??2?所以f'?x?maxa?a?a?f'????2，由?2?2?a?1?，得0?a?8，此时2?a?8．

4?2?422综上①②可得，实数a的取值范围为??1,8?． -------------------------9分 （Ⅲ）设点P?t,?t???133a2?t?2t?是函数y?f?x?图象上的切点， 2?2则过点P的切线的斜率为k?f'?t???t?at?2， 所以过点P的切线方程为y?t?因为点?0,??在切线上， 所以?133a2t?2t???t2?at?2??x?t?． 2??1?3?113a2211?t?t?2t???t2?at?2??0?t?，即t3?at2??0． 332323若过点?0,??可作函数y?f?x?图象的三条不同切线，

??1?3?理科数学 第10页 共11页

23121t?at??0有三个不同的实数解． -------------------------12分 32323121令g?t??t?at?，则函数y?g?t?与t轴有三个不同的交点．

则方程323令g??t??2t2?at?0，解得t?0或t?a2．

因为g?0??1?1313，g?a??2????24a?3， 所以必须g??a??2????124a3?13?0，即a?2． 所以实数a的取值范围为?2,???． 理科数学 第11页 共11页-------------------------14分

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