2014高考数学 黄金配套练习6-2 理(2)

2．在等差数列{an}中，满足3a4＝7a7，且a1>0，Sn是数列{an}前n项的和．若Sn取得最大值，则n＝________.

答案 9

解析 设公差为d，由题设，3(a1＋3d)＝7(a1＋6d)，

4

解得d＝－a1<0，

33

4

解不等式an>0，即a1＋(n－1)(－a1)>0，

33

37

得n<，则n≤9.当n≤9时，an>0.

4

同理，可得当n≥10时，an<0. 故当n＝9时，Sn取得最大值．

3．设各项均为正数的数列{an}的前n项和为Sn.已知2a2＝a1＋a3，数列{Sn}是公差为d的等差数列．求数列{an}的通项公式(用n，d表示)．

解析 由题设知，Sn＝S1＋(n－1)d＝a1＋(n－1)d，则当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(Sn22

－Sn－1)(Sn＋Sn－1)＝2da1－3d＋2dn.

22

由2a2＝a1＋a3，得2(2da1＋d)＝a1＋2da1＋3d，解得a1＝d.

22

故当n≥2时，an＝2nd－d.

22

又a1＝d，所以数列{an}的通项公式为an＝(2n－1)d.

2

4．数列{an}满足a1＝1，an＋1＝(n＋n－λ)an(n＝1,2，…)，λ是常数． (1)当a2＝－1时，求λ及a3的值；

(2)数列{an}是否可能为等差数列？若可能，求出它的通项公式；若不可能，请说明理由；

2

解 (1)由于an＋1＝(n＋n－λ)an(n＝1,2，…)，且a1＝1， 所以当a2＝－1时，得－1＝2－λ，故λ＝3.

2

从而a3＝(2＋2－3)×(－1)＝－3.

(2)数列{an}不可能为等差数列．证明如下：

2

由a1＝1，an＋1＝(n＋n－λ)an得

a2＝2－λ，a3＝(6－λ)(2－λ)，a4＝(12－λ)(6－λ)(2－λ)． 若存在λ，使{an}为等差数列，则a3－a2＝a2－a1，即

(5－λ)(2－λ)＝1－λ，解得λ＝3.于是a2－a1＝1－λ＝－2，a4－a3＝(11－λ)(6－λ)(2－λ)＝－24，

这与{an}为等差数列矛盾．所以，对任意λ，{an}都不可能为等差数列．

5．已知等差数列{an}中，公差d>0，其前n项和为Sn，且满足：a2·a3＝45，a1＋a4＝14. (1)求数列{an}的通项公式；

(2)通过公式bn＝

Sn(3)求f(n)＝(n∈N)的最大值．

n＋25·bn＋1

解析 (1){an}为等差数列，

∴a1＋a4＝a2＋a3＝14，又a2·a3＝45.

2

∴a2，a3是方程x－14x＋45＝0的两实根． 又公差d>0，∴a2

n（n－1）2

(2)由(1)知，Sn＝n·1＋·4＝2n－n，

2

2

Sn2n－n∴bn＝＝.

n＋cn＋cn＋cbn构造一个新的数列{bn}，若{bn}也是等差数列，求非零常数c；

*

- 6 -

∴b1615

1＝1＋c，b2＝2＋c，b3＝3＋c.

又{bn}也是等差数列，∴b1＋b3＝2b2.

即2·62＋c＝11＋c＋153＋c，解得c＝－1

2(c＝0舍去)．

2

∴b2n－nn＝＝2nn－1.

2

易知{b}是等差数列，故c＝－1

n2. (3)f(n)＝2nn（n＋25）·2（n＋1）＝n2＋26n＋25＝111n＋25≤＋26

＝n＋2622536. n＝25n，即n＝5时取等号，∴f(n)1

max＝36. - 7 -

当且仅当

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