泰勒公式在若干数学分支中的应用(2)

式：

f?(a)f(n)(a)f(x)?f(a)?(x?a)???(x?a)n

1!n!(1??)n(n?1)?f(a??(x?a))(x?a)n?1，(0???1)

n!特别地，当a?0时，我们称之为带柯西型余项的马克劳林公式：

f?(0)f(n)(0)n(1??)n(n?1)f(x)?f(0)?x???x?f(0)xn?1

1!n!n!二、泰勒公式的应用：

（一）泰勒公式在求极限方面的应用：

对有些极限问题，利用泰勒公式是十分有效的方法，要比诸如洛必达法则、等价无穷小代换等方法来的更简便，因为洛必达法则虽然能成功的解决确定不定式的极限问题，但有时需要连续计算多次导数之比才见分晓，甚至不太好求。 例1 求极限limx?0cosx?ex4?x22

解：本题可用洛必达法则求解，而用此方法则令求解过程较为繁琐，那么我们可用泰勒公式求解，考虑到极限式的分母为x4，则用麦克劳林公式表示极限的分子（取n?4）

x2x4 cosx= 1?????x5?

224e?x22x2x4= 1?????x5?

28- 6 -

cosx?e?x22x4= ????x5?

12因而求得limx?0cosx?ex4x??x2?2x4????x5?1=lim124=? x?012x?x???1??例2 求极限lim?x?x2ln?1????

??1???1?1?1?x??1??1?1 解：ln?1??=????3?=?2???3?

2?x?x?x??x?x2x21?1?1??1?1?2?1 x?x2ln?1??x?x?????????3???3? ?2?x??x??2?x??x2x?1???1?1??1 则lim?x?x2ln?1??lim?????x????3??? x????x???2?x??2（二）泰勒公式在求极值方面的应用

函数的极值不仅在实际问题中占有重要的地位，而且也是函数性态的一个重要特征，而求函数极值的方法有很多种，以下则是用泰勒公式来求高阶可导函数极值的方法。

现在，设函数 f在x0的某邻域内存在直到n?1阶导函数。且在x0处n阶可导，而f?k??x0??0?k?1,2,...,n?1?,f?n??x0??0 由以上条件，可得f在x0处的n阶泰勒公式

f'?x0?f''?x0?f???x0?2nnf?x??f?x0??x?x?x?x?...?x?x??x?x?0??0??0??0?1!2!n!n??由于f?k??x0??0?k?1,2,...,n?1?，因此

?f?n??x0??nf?x??f?x0??????1???x?x0? （1）

???n!?此时分n为奇数和偶数来求极值：

- 7 -

1． 当n为偶数时，?x?x0??0，又因f?n??x0??0，故在x0的某个

n邻域中，

f?n?n!?x0?与

f?n?n!?x0????1?同号，所以当f?n??x0??0时，

（1）式取负值，从而对于x0的某个邻域内有f?x??f?x0??0，即f?x?在x0处取最大值，同样对于f?n??x0??0，可得f?x?在点x0处取极小值。

2． 当n为奇数时，由于?x?x0?的正负无法确定，由（1）知

f?x??f?x0?的正负也无法确定，因此f?x?在点x0处不取极

n值。

通过以上的论证得出以下定理：

定理4 （极值的第三充分条件）设f在x0的某邻域内存在直到

n?1阶导函数，在x0处n阶可导，且f?k??x0??0?k?1,2,...,n?1?,f?n??x0??0，

则

（i）

当n为偶数时，f在x0取得极值，且当f?n??x0??0时取极大值，f?n??x0??0时取极小值。

（ii）

当n为奇数时，f在x0不取极值。

2例3 求函数f?x??x3?x?5?的极值。 解：求此函数的一阶导数

f'?x??3x2?x?5??2x3?x?5??5x2?x?3??x?5?

2令f'?x??0，解得三个稳定点：0，3，5。 求函数f?x?的二阶导数，f'''?x??30?2x2?8x?5? 二阶导函数f''?x?在三个稳定点0，3，5的值分别是

f''?0??0,f''?3???90?0,f''?5??250?0

- 8 -

于是，3是函数f?x?的极大点，极大值是f?3??108；

5是函数f?x?的极小点，极小值是f?5??0，在稳定点0暂不确定。 求函数f?x?的三阶导数，f'''?x??30?2x2?8x?5?

三阶导函数f'''?x?在稳定点0的值：f'''?0??150?0，于是稳定点0不是函数f?x?的极值点。 （三）泰勒公式与定积分计算

在计算定积分时，有的被积函数并非是初等函数，故用牛顿—莱布尼兹公式是无法求出其精确值的，这时运用泰勒公式将其展开不失为一个好办法，借两个例子说明： 例4 计算?10ln?1?x?dx xln?1?x?解：此题中并不是初等函数，故用泰勒公式将ln?1?x?展开为：

xx2x3ln?1?x??x???...

23x2x3x???...1ln?1?x?123则?0dx??0dx

xx ??10?xx2?11?2 ?1???...?dx?1?2?2?...?232312??sinxdx近似值。 x例5 求定积分的?10解：考虑sinx的泰勒公式展开式：

sinx?x?xx??3!5!2435sin(?x?7!sin(?x?7!7?)2x7 7?)2x6

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sinxxx?1???x3!5!所以

?10?sinxx3x5?11dx??x???0??0x3*3!5*5!??sin(?x?7!7?)2x6dx

因为sin(?x?误差R?sinx11117?dx?1?*?*?0.9461 )?1，故?10x3!35!5211*?0.5*10?3 7!7（四）利用泰勒公式判断敛散性 1、级数敛散性的判断 例6 讨论级数?(n?1?1n?1?ln)的敛散性。

nn分析：直接根据通项公式去判断该级数是正项级数还是非正项级数比较困难，因而也就无法恰当选择判敛方法，注意到ln若将其泰勒展开为的幂的形式，开二次方后恰与判敛容易进行。 解：因为

lnn?11111?1?1?ln?1????2?3?4??? nn?n?n2n3n4n1nn?11?ln(1?)nn1相呼应，会使n所以

lnn?11 ?nnun?1n?1?ln?0

nn故该级数为正项级数 ，又

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