数学系毕业论文 - 图文(6)

cosxsinx =limx?0x2sinx?xcosx=lim 2x?0xsinxsinx?xcosx=lim x?0x3cosx?cosx?xsinx=lim x?03x2xsinx=lim x?03x21= 31?xexsinx?x(1?x)例18.求lim

x?0x3exsinx?x(1?x)解： lim

x?0x3exsinx?excosx?1?x?x =lim 2x?03xex(sinx?cosx)?1?2x =lim x?03x2ex(sinx?cosx)?ex(cosx?sinx)?2 =lim x?06x2excosx?2 =lim x?06x2excosx?2ex(?sinx) =lim x?061 = 32.2.8用等价无穷小替换求极限。

要点: 在求函数极限时常用以下等价无穷小进行等价替换：sinx ～

x,tanx～x,arcsinx～x,ex?1～x,ln(1?x)～x,1?cosx～

x2x,ax?1?xlna,n1?x?1～,(1?x)n?1～nx (x? 0)

n2

1?x2?1例19．求极限lim

x?01?cosx1?x2?1解：lim

x?01?cosxx2 =lim22

x?0x2 =1

38?f(x)?2f(x)例20.设lim=?，（?为常数），求lim。

x?0x?0xx解： limx?038?f(x)?2

x38(1?=limx?0f(x))?28 x?f(x)?32?1??1?8? =lim?x?0xf(x)2??8)3 =limx?0x?= 12例21.求limarctanx

x?0ln(1?sinx)解：lim =limarctanx

x?0ln(1?sinx)x

x?0sinxx =lim

x?0x =1

2.2.9自然对数法:

要点：对于幂指数函数y= u(x)v(x) 的极限在多数情况下都不能单纯地利用

常规方法来解，这时可采用对数法求函数取自然对数，再求极限。

x)例22.求lim(cot?x?0x?01lnx

1lnxx)解：lim(cot?

=ex?0?limlncotxlnx

=e =e =e =e?csc2xlimcotx1x?0?xlim?x1

?x?0?sinxsinxcosx2

x?0?sinxcosxlim?x

x?0?sinxlim?x

=e?1

例23.求极限：（1） limx(1?cosx)

x?0(1?ex)sinx2x(1?coxs) 解： lim x2x?0(1?e)sixn =lim1?cosx

x?0x(1?ex)x22 =lim x?0x(1?ex)x =lim2x

x?01?e1 =lim2x

x?0?e1 =-

2?sinx? （2）lim??x?0?x?11?cosx

=esinxxlimx?01?cosxln

=exxcosx?sinx?sinxx2limx?0sinx

=ex?0 =ex?0limxcosx?sinxx3?xsinx3x2

lim =e

2.2.10级数法：

要点：级数法一般是利用麦克劳林级数

f''(0)2x+…+Rn(x) 将函数展开，取有效部分求f(x)=f(0)+f(0)x+2!'?13极限。

例24.求极限：lim(6x6?x5?6x6?x5)

x??? 解： lim(6x6?x5?6x6?x5)

x?????111166 =limx?(1?)?(1?)?

x???xx??1111?? =limx?1??o(2)?1??o(2)?

x???x6xx??6x =limx?x???1 3x1 =

3ex?1?x例25.求极限：lim

x?01?x?cosxx2 解：e?1?x??o(x2)

2!xxx21??ox2( ) cosx??24!xx2(2 ) 1?x?1???ox28

x2?o(x2)ex?1?x ∴ lim=lim2=-3

x?01?x?cosxx?012?x?o(x2)62.2.11利用积分中值定理：

要点：一般根据积分第一中值定理若f(x)在?a,b?上连续，则

????a,b?,s..t?f(x)dx?f(?)(b?a)将某些含有积分的变量化为一般形式再

ab求极限。

1例26.求极限： lim???013?x?101dx

解：?1dx?(0???1) 33?x?1???1011 ∴lim???013?x?10dx=lim??01??3?1=1

2.2.12变量替换：

要点：为了将未知极限化简，或转化为已知的极限，可根据极限式的特点适当引入新变量，以替换原来的变量。

12例27.求极限：lime?x(1?)x

x???x1 解: 令t=

x1x2?x ∴lime(1?)

x???x =lime(1?t)t

t?01ln(1?t)??tt2?1t12 =limet?0

ln(1?t)?t =limet?0t2

=e =e1?1lim1?tt?02t

?1t?02(1?t)lim

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