一元函数极限的若干(4)

（5）?1?x??1??x?（6）

?????1?2!x2?…+???-1?…???n?1?n!xn???xn?；

1?1?x?x2?…+xn???xn? 1?x例20 求极限limcosx?ex?0x4?x22.

解： 本题可用洛必达法则求解(较繁琐），在这里可应用泰勒公式求解.考虑到极限的分母为x4，我们用麦克劳林公式表示极限的分子(取n?4，并利用

e?x22x2x4x2nn?1??2?…+??1??n???x2n?）：

22?2!2n!x2x4 cosx?1?????x5?，

224 e-x22x2x4?1?????x5?，

28-x22x?e cosx4?????x5?. 12因而求得 lim

cosx?ex?0x4-x2214x???x5?1?lim124??. x?0x12?4.12 利用微分中值定理

拉格朗日中值定理：若函数f?x?满足下列条件：（1）在闭区间?a,b?上连续 （2）在开区间?a,b?内可导 则在开区间?a,b?内至少存在一点?，使f?????.

f?a??f?b?b?a

aa??例21：求limn2?arctan?arctan??a?0? n??nn+1?? 16

?aa?解：设f?x??arctan,，在?,?上用拉格朗日中值定理，得

?n?1n??a?f????n?1?aa?aa?a?（其中<<） ?f?????2?n?11??nn?1n?1n????a1??a 1??2n?n?1?故当n??时，??0，可知：原式=limn2?n??4.13积分中值定理求函数极限

积分中值定理：如果f?x?在?a,b?连续，g?x?在?a,b?上可积且不变号，则存在???a,b?，使得?f?x?g?x?dx?f????g?x?dx

aabb例22：求lim?x?a?ln?nx??xt?2dt，其中a>0，为常数，n为自然数.

解：由积分中值定理知，在x与x?a之间存在?，使

?x?a?ln?nxt?2dt?x?aa?ln??n??2

a?ln??n所以limx???x??lnt?nt?2dt?limx?????2?0

4.14 利用级数收敛的必要条件求函数的极限

级数收敛的必要条件是：若级数?un收敛，则limun?0，故对某些极限

n?1n???limf?n?，可将函数f?n?作为级数的一般项，只须证明级数收敛，便有

n??limf?n??0.

n??nk例23：求limn（a>1）

n??ank解：研究级数?n（a>1），由于

an?0? 17

?n?1?ulimn?1?limn??un??n?kankann?1?n?1?11?lim????<1 n??n??aaknknk所以级数?n（a>1）收敛，故limn?0

n??an?0a5 结束语

以上方法是求解一元函数极限的重要方法，虽有一定的规律可循，但也决不能死搬硬套，因为有的题目可能有多种解法，有的简单，有的复杂；尽管掌握以上方法和透彻清晰地明白以上各种方法所需的条件也不够，必须细心分析仔细甄选，在做题过程中不断总结，摸索，领悟题目的含义和各种方法的精髓，才能更好地掌握极限的方法，提高解题准确率，省去许多不必要的麻烦，起到事半功倍的效果。

参考文献

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［2］刘玉莲，付沛主编.数学分析讲义［M］.北京：高等教育出版社 ［3］大学同济大学主编.高等数学（第五版）［M］.北京：高等教育出版社 ［4］尹成国，常见函数极限的求法［J］.宝山师专学报，2009,28（2）：33-35 ［5］孙华清，孙昊 数学分析内容、方法与技巧（上）［M］.武汉：华中科技大学出版社， 2003,7

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