二次函数导学案(3)

22.1.4 二次函数y＝ax2＋bx＋c的性质

一、复习知识点：“理一理知识点”的内容． 二、学习目标：

1．懂得求二次函数y＝ax2＋bx＋c与x轴、y轴的交点的方法； 2．知道二次函数中a，b，c以及△＝b2－4ac对图象的影响． 三、基本知识练习

1．求二次函数y＝x2＋3x－4与y轴的交点坐标为_______________，与x轴的交点坐标____________． 2．二次函数y＝x2＋3x－4的顶点坐标为______________，对称轴为______________． 3．一元二次方程x2＋3x－4＝0的根的判别式△＝______________． 4．二次函数y＝x2＋bx过点（1，4），则b＝________________． 5．一元二次方程y＝ax2＋bx＋c（a≠0），△＞0时，一元二次方程有_______________， △＝0时，一元二次方程有___________，△＜0时，一元二次方程_______________． 四、知识点应用

1．求二次函数y＝ax2＋bx＋c与x轴交点（含y＝0时，则在函数值y＝0时，x的值是抛物

线与x轴交点的横坐标）．

例1 求y＝x2－2x－3与x轴交点坐标．

2．求二次函数y＝ax2＋bx＋c与y轴交点（含x＝0时，则y的值是抛物线与y轴交点的纵

坐标）．

例2 求抛物线y＝x2－2x－3与y轴交点坐标．

3．a、b、c以及△＝b2－4ac对图象的影响． （1）a决定：开口方向、形状

（2）c决定与y轴的交点为（0，c）

（3）b与－b

2a

共同决定b的正负性

??0与x轴有两个交点 （4）△＝b2－4ac???0与x轴有一个交点

???0与x轴没有交点 例3 如图， 由图可得： a_______0 b_______0 c_______0 △______0

例4 已知二次函数y＝x2＋kx＋9．

①当k为何值时，对称轴为y轴；

②当k为何值时，抛物线与x轴有两个交点； ③当k为何值时，抛物线与x轴只有一个交点．

五、课后练习

1．求抛物线y＝2x2－7x－15与x轴交点坐标__________，与y轴的交点坐标为_______． 2．抛物线y＝4x2－2x＋m的顶点在x轴上，则m＝__________． 3．如图： 由图可得： a_______0 b_______0 c_______0 △＝b2－4ac______0

六、目标检测

1．求抛物线y＝x2－2x＋1与y轴的交点坐标为_______________．

2．若抛物线y＝mx2－x＋1与x轴有两个交点，求m的范围．

3．如图：

由图可得：a _________0 b_________0 c_________0

△＝b2－4ac_________0

11

22.1.4 二次函数y＝ax2＋bx＋c解析式求法

一、阅读课本：第39～40页． 二、学习目标：

1．会用待定系数法求二次函数的解析式； 2．实际问题中求二次函数解析式． 三、课前基本练习

1．已知二次函数y＝x2＋x＋m的图象过点（1，2），则m的值为________________． 2．已知点A（2，5），B（4，5）是抛物线y＝4x2＋bx＋c上的两点，则这条抛物线的对称轴为_____________________． 七、课堂训练

1．已知二次函数的图象过（0，1）、（2，4）、（3，10）三点，求这个二次函数的关系式．

2．已知二次函数的图象的顶点坐标为（－2，－3），且图像过点（－3，－2），求这个二次 函数的解析式． 3．将抛物线y＝－(x－1)2＋3先向右平移1个单位，再向下平移3个单位，则所得抛物线的 解析式为____________________．

4．抛物线的形状、开口方向都与抛物线y＝－1

2

x2相同，顶点在（1，－2），则抛物线的解

析式为________________________________．

四、例题分析

例1 已知抛物线经过点A（－1，0），B（4，5），C（0，－3），求抛物线的解析式．

例2 已知抛物线顶点为（1，－4），且又过点（2，－3）．求抛物线的解析式．

例3 已知抛物线与x轴的两交点为（－1，0）和（3，0），且过点（2，－3）． 求抛物线的解析式．

五、归纳

用待定系数法求二次函数的解析式用三种方法： 1．已知抛物线过三点，设一般式为y＝ax2＋bx＋c．

2．已知抛物线顶点坐标及一点，设顶点式y＝a(x－h)2＋k．

3．已知抛物线与x轴有两个交点（或已知抛物线与x轴交点的横坐标），

设两根式：y＝a(x－x1)(x－x2) ．（其中x1、x2是抛物线与x轴交点的横坐标）

六、实际问题中求二次函数解析式

例4 要修建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，在水管的顶端安一个喷水头，使喷出的抛物线形

水柱在与池中心的水平距离为1m处达到最高，高度为3m，水柱落地处离池中心3m，水管应多长？

3．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图像与x轴交于A（1，0），B（3，0）两点，与 y轴交于点C（0，3），求二次函数的顶点坐标．

4．如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝12mm，BC＝24mm，动点P从点A开始沿边AB向B以2mm/s的速度移动，动点Q从点B开始沿边BC向C以4mm/s的速度移动，如果P、Q分别从A、B同时出发，那么△PBQ的面积S随出发时间t如何变化？写出函数关系式及t的取值范围．

A

P BQC

八、目标检测

1．已知二次函数的图像过点A（－1，0），B（3，0），C（0，3）三点，求这个二次函数解析式．

12

2．二次函数y＝ax2＋bx＋c与x轴的位置关系：

22.2 二次函数与一元二次方程 一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根的判别式△＝b2－4ac．

（1）当△＝b2－4ac＞0时 抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴有两个交点； 一、阅读课本：第43～46页 （2）当△＝b2－4ac＝0时 抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴只有一个交点； 二、学习目标： （3）当△＝b2－4ac＜0时 抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴没有公共点．

1．知道二次函数与一元二次方程的关系． 五、基本知识练习 2．会用一元二次方程ax2＋bx＋c＝0根的判别式△＝b2－4ac判断二次函数y＝ax2＋bx＋c与x轴的公共点的个1．二次函数y＝x2－3x＋2，当x＝1时，y＝________；当y＝0时，x＝_______．

数． 2．二次函数y＝x2－4x＋6，当x＝________时，y＝3．

三、探索新知 3．如图，

1．问题：如图，以40m/s的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出时，球的飞行路线将是一条抛物线．如果

不考虑空气阻力，球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间具有关系h＝20t－5t2． 一元二次方程ax2＋bx＋c＝0 考虑以下问题： 的解为________________

（1）球的飞行高度能否达到15m？如能，需要多少飞行时间？

（2）球的飞行高度能否达到20m？如能，需要多少飞行时间？

（3）球的飞行高度能否达到20.5m？为什么？

（4）球从飞出到落地要用多少时间？ 4．如图

一元二次方程ax2＋bx＋c＝3 的解为_________________

2．观察图象：

（1）二次函数y＝x2＋x－2的图象与x轴有____个交点，则一元二次方程x2＋x－2＝0的根的判别式△＝5．如图 填空：

_______0； （1）a________0

2

（2）二次函数y＝x－6x＋9的图像与x轴有___________个交点，则一元二次方程 （2）b________0

x2－6x＋9＝0的根的判别式△＝_______0； （3）c________0

（3）二次函数y＝x2－x＋1的图象与x轴________公共点，则一元二次方程x2－x＋1＝0的根的判别式△ （4）b2－4ac________0

_______0．

六、课堂训练 1．特殊代数式求值： ①如图 看图填空： （1）a＋b＋c_______0 （2）a－b＋c_______0 （3）2a－b _______0

四、理一理知识

1．已知二次函数y＝－x2＋4x的函数值为3，求自变量x的值，可以看作解一元二次方程

__________________．反之，解一元二次方程－x2＋4x＝3又可以看作已知二次函数 __________________的函数

值为3的自变量x的值． ②如图 2a＋b _______0

一般地：已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的函数值为m，求自变量x的值，可以看作解一元二次方程ax2＋bx

＋c＝m．反之，解一元二次方程ax2＋bx＋c＝m又可以看作已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的值为m的自变 4a＋2b＋c_______0

量x的值．

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2．利用抛物线图象求解一元二次方程及二次不等式 （1）方程ax2＋bx＋c＝0的根为___________； （2）方程ax2＋bx＋c＝－3的根为__________； （3）方程ax2＋bx＋c＝－4的根为__________； （4）不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为________； （5）不等式ax2＋bx＋c＜0的解集为________； （6）不等式－4＜ax2＋bx＋c＜0的解集为________．

七、目标检测

根据图象填空： （1）a_____0；（2）b_____0；（3）c______0； （4）△＝b2－4ac_____0；（5）a＋b＋c_____0； （6）a－b＋c_____0；（7）2a＋b_____0； （8）方程ax2＋bx＋c＝0的根为__________； （9）当y＞0时，x的范围为___________； （10）当y＜0时，x的范围为___________；

八、课后训练

1．已知抛物线y＝x2－2kx＋9的顶点在x轴上，则k＝____________．

2．已知抛物线y＝kx2＋2x－1与坐标轴有三个交点，则k的取值范围___________．

3．已知函数y＝ax2＋bx＋c（a，b，c为常数，且a≠0）的图象如图所示，则关于x的方程 ax2＋bx＋c－4＝0的根的情况是（ ） A．有两个不相等的正实数根 B．有两个异号实数根 C．有两个相等实数根 D．无实数根

4．如图为二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象，在下列说法中：

①ac＜0；②方程ax2＋bx＋c＝0的根是x1＝－1，x2＝3；③a＋b＋c＞0；④当x＞1时，y随x的增大而增大．

正确的说法有__________________（把正确的序号都填在横线上）．

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22.3 实际问题与二次函数（1）

一、阅读教科书：P49的问题 二、学习目标：

几何问题中应用二次函数的最值． 三、课前基本练习

1．抛物线y＝－(x＋1)2＋2中，当x＝___________时，y有_______值是__________．

1

2．抛物线y＝ x2－x＋1中，当x＝___________时，y有_______值是__________．

2

3．抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）中，当x＝___________时，y有_______值是__________． 四、例题分析：（P49的探究1）

用总长为60m的篱笆围成矩形场地，矩形面积S随矩形一边长l的变化而变化，当l是多少时，场地的面积S最大？

五、课后练习

1．已知直角三角形两条直角边的和等于8，两条直角边各为多少时，这个直角三角形的面积最大，最大值是多少？

2．从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度h（单位：m）与小球运动时间t（单位：s）之间的关系式是h＝30t2

－5t．小球运动的时间是多少时，小球最高？小球运动中的最大高度是多少？

3．如图，四边形的两条对角线AC、BD互相垂直，AC＋BD＝10，当AC、BD的长是多少时，四边形ABCD

D的面积最大？

C

A B

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4．一块三角形废料如图所示，∠A＝30°，∠C＝90°，AB＝12．用这块废料剪出一个长方形CDEF，其中，点D、E、F分别在AC、AB、BC上．要使剪出的长方形CDEF面积最大，点E应造在何处？

A

ED

CFB

六、目标检测

如图，点E、F、G、H分别位于正方形ABCD的四条边上，四边形EFGH也是正方形．当 点E位于何处时，正方形EFGH的面积最小？

GDC

H

F

ABE

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