流体力学习题及答案-第二章

第二章 流体静力学

2-1如果地面上空气压力为0.101325MPa，求距地面100m和1000m高空处的压力。 答：取空气密度为??1.226kg/m，并注意到1?MPa??10?Pa?。

36??（1）100米高空处：

p?p0??gh?1.01325?105?Pa??1.226kg/m3?9.81m/s2?100?m??101325?Pa??1203?Pa??1.00122?10?Pa?5????

（2）1000米高空处：

p?p0??gh?1.01325?105?Pa??1.226kg/m3?9.81m/s2?1000?m??101325?Pa??12027?Pa??0.89298?10?Pa?5????

2-2 如果海面压力为一个工程大气压，求潜艇下潜深度为50m、500m和5000m时所承受海水的压力分别为多少？

答：取海水密度为??1.025?10kg/m，并注意到所求压力为相对压力。 （1）当水深为50米时：

3?3?p??gh?1.025?103kg/m3?9.81m/s2?50?m??5.028?105?Pa?。

（2）当水深为500米时：

????p??gh?1.025?103kg/m3?9.81m/s2?500?m??5.028?106?Pa?。

（3）当水深为5000米时：

????p??gh?1.025?103kg/m3?9.81m/s2?5000?m??5.028?107?Pa?。

2-3试决定图示装置中A，B两点间的压力差。已知：h1?500mm，h2?200mm，

????h3?150mm，h4?250mm，h5?400mm；酒精重度?1?7848N/m3，水银重度

?2?133400N/m3，水的重度?3?9810N/m3。

答：设A，B两点的压力分别为pA和pB，1,2,3,4各个点处的压力分别为p1，p2，p3和p4。根据各个等压面的关系有：

p1?pA??3h1，

p1?p2??2h2，

- 1 -

p3?p2??1h3， p3?p4??2h4， p4?pB??3?h5?h4?；

整理得到：

pA?pB??3?h5?h4???2h4??1h3??2h2??3h1，

pA?pB???1h3??2?h2?h4???3?h5?h4?h1???7848?0.15?133400??0.25?0.2??9810??0.4?0.25?0.5? ?55419.3?Pa?2-4有闸门如图所示，其圆心角??60，转轴位于水面上。已知闸门宽度为B，半径为R，试求闸门受到的合力及合力与自由面的夹角?。 答：（1）求水平分力Px???hc?Sx

由于H?R?sin?，则hc??11H?R?sin?；Sx?H?B?R?sin??B。因此：22211?3?32????R2B?Px???Rsin??RBsin?????RB。 ?22?28??（2）求垂向分力Pz???V

其中：V????13?2????RB， ??R2?Rsin??Rcos???B????28??2???6???3?2?RB??0.523?0.217??R2B?0.306?R2B。 ??68???因此Pz???V????（3）求合力P

合力大小：P?Px2?Pz2?0.484?R2B；

22?合力方向：tan??PzPx?0.306?RB0.375?RB?0.816，??39.2。

2-5设水深为h，试对下述几种剖面形状的柱形水坝，分别计算水对单位长度水坝的作用力。（1）抛物线：z?ax，（a为常数）；

（2）正弦曲线：z?asinbx，（b/a?1，a，b为常数）。 答：（1）z?ax，a为常数。

- 2 -

22水平分力：Px???hc?Sx； 其中hc?111h，Sx?h?1?h；因此Px???h?h??h2。 222垂直分力：Pz???V；

其中V?S?1?S，而S?h?xh??xh0ax2dx，并注意到xh?h/a，于是得到：

3V?h?h?a?0haha?h?2h2??h。 axdx?h?????a3?a3a??因此，Pz?2h?h。 3a（2）z?asinbx，（b/a?1，a，b为常数）。

水平分力：Px???hc?Sx?垂直分力：Pz???V； 其中V?S?1?S，而S?h?xh?xh12?h。 2?xh01h并注意到xh?arcsin，于是得到： asinbxdx，

baV?xh?h??asinbxdx?xh?h?aaax?cosbx0h?xh?h?cosbxh?0bbbhhah?a?1?arcsin?cos?b?arcsin?? babbab??hh12a?arcsin?a?h2?babb因此，Pz???h?22?h?arcsin?a?h?a?。 b?a?2-6试求图示单位长度水渠壁面所受的静水作用力。已知水的重度??9810（N/m3），水渠左壁为y??x的直线，右壁为y?x的抛物线。 答：（1）水渠左壁面受力

①采用平板公式计算

作用力大小：P???hc?S?9810?21?2?1?6935.67(N)； 2作用力方向：垂直作用于平板OA，并指向OA。 作用点：

- 3 -

y?f?yc?Ic12，其中yc?，Ic??12ycS2?2??1?32，S?2?1?2。 6因此，y?f?2222???ysin45?2??（m）；h?。 2?0.9427（m）ff3233②采用柱面公式计算

水平分力：Px???hc?Sx?9810?垂直分力：Pz???V?9810?合力：P?1?1?1?4905?N?； 21?1?1?1?4905?N?； 2Px2?Pz2?4905?2?6936.72?N?。

（2）水渠右壁面受力

水平分力：Px???hc?Sx?9810?垂直分力：Pz???V；

11?1?1?1?4905?N?； 2而V?S?1?S，S?1?1?xdx?1?0?212?； 33因此Pz???V?9810?合力：P?2?6540?N?。 3Px2?Pz2?8175?N?。

2-7 一圆筒形容器的半径R，所盛水的高度H。若该容器以等角速度?绕其中心轴转动，设r=0，z=h点的压力为p0，试求容器内水的压力分布及自由表面方程（设容器足够高，旋转时水不会流出）。

答：（1）作用于筒内流体的质量力包括两项：

第一项：与z坐标方向相反的重力，重力加速度为g； 第二项：沿r坐标方向的离心力，离心加速度为?r。 因此单位质量力为：

2?????f??2r?er?g?ez，其中：er、ez分别为r、z方向的单位向量。

?1?p??p?（2）对于静止流体微分方程：f??p，其中压力梯度：?p??er??ez；

??r?z?将质量力f和压力梯度?p代入，则得到：

- 4 -

??2r?er??g?ez????p??p??er??ez； ?r?z比较方程两端，则得到：

?p?p???2r，???g。 ?r?z?p?p?p?p（3）压力的全微分：dp?dr?dz，将???2r和???g代入其中，有：

?r?z?r?zdp???2rdr??gdz；

将上式两端同时积分，得到：

p?1??2r2??gz?C，其中C为常数。 2将条件r?0、z?h时p?p0代入上式，则得到：

C?p0??gh。

即流体内部的压力分布为：

p?11??2r2??gz?p0??gh?p0??g(h?z)???2r2； 22又由于在自由表面上：p?p0，代入到上述压力分布式中，则得到：

1??2r2??g(h?z)?0； 2该式便是筒内流体的自由面方程。

2-8底面积a×a=200×200mm2的正方形容器的质量为m1=4kg，水的高度为h=150mm，容器的质量为m2=25kg的重物作用下沿平板滑动，设容器底面与平板间的摩擦系数为0.13，试求不使水溢出的最小高度H。 答：（1）求水平加速度ax：

建立如图所示坐标系，且设倾斜后不使水溢出的最小高度为H。

?，容器和水的总质量为m，则： 设容器内水的质量为m1???a2h?1.0?103?0.2?0.2?0.15?6（kg）m1，

??4?6?10（kg）m?m1?m1。

由牛顿第二定律：

m2g??mg?(m?m2)ax，

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