河北省石家庄市2017届高三复习教学质量检测（一）（理数）(2)

∴MN∥平面PAB.…………………4分

（II）在平面ABCD内作AE∥CD交BC于E，，则AE?AD .

分别以AE，AD，AP所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系. 则P0,0,4， M(0,1,0)，

??2228 ,,)333……………6分??设平面AMN的法向量m?(x,y,z) ????????2228AM?(0,1,0),AN?(,,)则

333?y?0??1?取m?(2,0,?) ……………8分 ?22282x?y?z?0??333?设平面PAN的法向量n?(x,y,z) ???????2228AP?(0,0,4),AN?(,,)

333?4z?0?? 取n?(1,?2,0)?2228x?y?z?0??333……………10分

C22,2,0，N(??

????则cosm,n?

二面角P?|m||n|?????m?n

??26 9

AN?M的余弦值为26 .9……………12分

19．（本小题满分12分） 解：（Ⅰ）由茎叶图可得二维列联表

男性 女性 合计 ……………2分

240?（16?8-12?4）n(ad?bc)2=?1.904?6.635…………4分 K=20?20?28?12(a?b)(c?d)(a?c)(b?d)正常 16 12 28 偏高 4 8 12 合计 20 20 40 2所以不能在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为此项血液指标与性别有关系。

………………………5分

（II）由样本数据可知，男性正常的概率为

43，女性正常的概率为。…………6分 55此项血液指标为正常的人数X的可能取值为0,1,2,3,4

6

4234P(X?0)?（1?）（1?)2?

556254343441413P(X?1)?C2（1?)(1?)2?（1?)2C2(1?)= 555555625423441334232169P(X?2)?（）（1?)2+C1（1?)?C（1?)+（1?）（)= 225555555562543432641413P(X?3)?C2（1?)()2?（)2C2(1?)= 55555562543144P(X?4)?（)2()2=

55625所以X的分布列为 X P 0 1 2 3 4 4 62544 625169 625264 625144 625 ………………11分 所以EX=0?444169264144?1??2??3??4?=2.8 625625625625625此项血液指标为正常的人数X的数学期望为2.8……………12分

20.（本小题满分12分） 解：（Ⅰ）由题意得PH?PF，

?点P到直线l:x??1的距离等于它到定点F?1,0?的距离，…………2分 ?点P的轨迹是以l为准线，F为焦点的抛物线，

?点P的轨迹C的方程为y2?4x …………………4分

（Ⅱ）解法一：由题意知切线l1的斜率必然存在，设为k，则l1:y?y0?k?x?x0? ．

?44?y?y0?k?x?x0??1?22由? ，得y?y0?k?y2?x0?，即y?y?y0?y0?0

2kk?4???y?4x2由??0，得到k?．

y0∴l1:4x?2y0y?y02?0，……………………6分 解法二：由y2?4x，当y?0时，y?2x，?y??1 x?以P为切点的切线l1的斜率为k?1 x01(x?x0) x0?以P(x0,y0)(y0?0)为切点的切线为y?y0?y022即y?y0?(x?)，整理l1:4x?2y0y?y02?0………………6分

y04yy令x?0,则y?0，?B(0,0)

22 7

y02??x0，?A(?x0,0)………………7分 令y?0,则x??4点M?a,0?到切线l的距离d?y02?4a?y02?4?2a?2?2a?1(当且仅当

2y20?42y20?4y0?2a?2时，取等号)．

∴ 当P?a?2,2a?2?时，满足题意的圆M的面积最小．………………9分 ∴A?2?a,0?，B?0,a?2?．

S1?ABF?2|1?(2?a)|?|a?2|?12?a?1?a?2S1?APM?2|a?(2?a)||2a?2|?(a?1)?2a?2．……………11分

∴S?ABFS?1． ?APM4?△ABF与△PAM面积之比为14． ………………12分

21．（本小题满分12分） 解：（I）?f?(x)?1x?a?2bx， ?f?(1)?11?a?2b，且f(1)?ln(1?a)?b ?以点(1,f(1))为切点的切线方程为y?f(1)?f?(1)(x?1)

即：y?(11?a?2b)x?11?a?b?ln(1?a) …………………2分 ?1?2b??1????1?a2???????(1)????1

1?a?b?ln(1?a)?ln2???(2)由(2)得b?ln2?ln(1?a)?11?a，

代入(1)得：2ln(1?a)?11?a?2ln2?12 又y?2lnx?1x为单调递增函数……………………4分

所以可得?a?1,b?12； ……………………………5分

（II）由（I）可知f(x)?ln(x?1)?12x2,g(x)?(12x2x?1)e?2x?1，

思路1?：易知：ln(1?x)?122x?x，证明如下：

令F(x)?ln(1?x)?122x?x

8

，

11?x2?x?x?1?x2?2x?x(x?2)?x?1???则F?(x)? x?1x?1x?1x?1当x?[0,??),时，F?(x)?0

1?F(x)?F(0)?0,即：ln(1?x)?x2?x ……………………………7分

2?思路2：易知：ln(x?1)?x，证明如下：

1?x?1? m(x)?ln(x?1)?x，?m?(x)?x?1x?1显然，当x?(?1,0),m?(x)?0,x?(0,??),m?(x)?0， ?m(x)?m(0)?0，即ln(x?1)?x

1212又??x?0，?ln(1?x)?x?x（当x?0时取等号）. ……………………7分

2211?要证：f(x)?g(x)，即：ln(x?1)?x2?(x2?1)ex?2x?1

221212xx只需证：x?(x?1)e?2x?1，即证：(x?1)e?x?1?0

2212x令h(x)?(x?1)e?x?1,x?[0,??)

212xx则h?(x)?xe?(x?1)e?1，

212xx令H(x)?h?(x)?xe?(x?1)e?1……………………………9分

21212xxxxxx则H?(x)?e?xe?xe?(x?1)e?2xe?xe?0（只有x?0时，等号成立）

22?H(x)?h?(x)在[0,??)为增函数，?h?(x)?h?(0)?0 ?h(x)在[0,??)为增函数，?h(x)?h(0)?0

11?ln(x?1)?x2?(x2?1)ex?2x?1，即f(x)?g(x).…………………………12分

22

请考生在第22、23题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分．做答时请把所选题号涂黑．

22.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程： .解：（I）

?x??cos?,y??sin??C:x2?2y2?12 ?直线l恒过的定点为A?2,0?…….4分 （II）把直线l方程代入曲线C方程得： ?sin2??1?t2?4cos?t?8?0......5分

8……..2分

由t的几何意义知AP?t1,AQ?t2.因为点A在椭圆内，这个方程必有两个实根，所以

sin2??1?APAQ?t1t2?6………………7分 即812?6?sin??，，????0,??

1?sin2?39

t1t2??

?sin??36，cos???… 332…………9分 ?k??222因此，直线直线l的方程y?(x?2)或y?-(x?2).......10分

22

23.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲

?x??1........1分

??(x?1)?(x?3)?6??1?x?3 ?........2

(x?1)?(x?3)?6??x?3........3分 ??(x?1)?(x?3)?6解：（Ⅰ）解：?解得：xx?-2或x?4........5分 （II）法1.化简f(x)得 当?m?3时

????2x?3?m;x??m? f(x)??m?3;?m?x?3……..6分

?2x?m?3;x?3?当?m?3时

??2x?3?m;x?3?f(x)???3?m;3?x??m……..7分

?2x?m?3;x??m???m?3由于题意得：? 即?3?m?2…….8分

?m?3?5??m?3 或?即m??8…….9分

??m?3?5??m?8?m?2?……..10分

法2. ?x-3?x?m??x?3???x?m??m?3

?f(x)min?3?m.......7分

?m?3?5......8分

??m?8?m?2?.....10分

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