广东省汕头市澄海中学高二数学上学期第一次月考试卷理（含解析）(5)

22．已知函数f（x）=ax﹣2x+1． （1）试讨论函数f（x）的单调性；

（2）若≤a≤1，且f（x）在上的最大值为M（a），最小值为N（a），令g（a）=M（a）﹣N（a），求g（a）的表达式；

（3）在（2）的条件下，求g（a）的最大值． 【考点】二次函数的性质；函数最值的应用．

【专题】综合题；函数思想；分类法；函数的性质及应用．

【分析】（1）通过讨论a的符合，结合二次函数的性质，从而判断出函数的单调性； （2）通过讨论a的范围，求出f（x）的单调区间，从而求出函数的最值，进而求出g（a）的解析式；

（3）根据a的范围，求出g（a）的单调性，从而求出g（a）的最小值． 【解答】解：（1）a=0时：f（x）=﹣2x+1，函数在R上递减，

a＞0时：f（x）的对称轴x=，函数f（x）在（﹣∞，）递减，在（，+∞）递增， a＜0时：f（x）在（﹣∞，）递增，在（，+∞）递减；

（2）∵≤a≤1，∴f（x）的图象为开口向上的抛物线，且对称轴为x=∈． ∴f（x）有最小值N（a）=1﹣．

当2≤≤3时，a∈，f（x）有最大值M（a）=f（1） =a﹣1；

当1≤＜2时，a∈（，1]，f（x）有最大值M（a）=f（3） =9a﹣5；

2

∴g（a）=

（3）设≤a1＜a2≤，则g（a1）﹣g（a2） =（a1﹣a2）（1﹣

）＞0，

∴g（a1）＞g（a2）， ∴g（a）在上是减函数．

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设＜a1＜a2≤1，则g（a1）﹣g（a2）=（a1﹣a2）（9﹣∴g（a）在（，1]上是增函数． ∴当a=时，g（a）有最小值．

）＜0，∴g（a1）＜g（a2），

【点评】本题考查了函数的单调性、最值问题，考查分类讨论思想，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键，本题是一道中档题．

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