数学文化期末提纲1(2)

珀里加尔（Perigal）在1873年给出的证明，它是一种相加全等证法。

如上图所示，边长为b的正方形的面积加上边长为a的正方形的面积，等于边长为c的正方形面积。即：a2+b2=c2。 4. 写出数学上最美的五个定理。

5. 证明：正多面体只有五种。

1. 多面体的每个顶点至少在三个面上。

2. 这些相交的面处的角（也就是顶点发出的角）的和必须小于 360°。 3. 正多面体的顶点发出的角是相等的，所以这个角必须小于 360°/3 = 120°。 4. 正六边形及边更多的正多边形的角大于等于 120°，所以正多面体上的面只

能是正三角形，正方形或正五边形。于是：

6

?

正三角形：每个角是 60°，所以正多面体每个顶点发出的角数目小于 360°/60° = 6，也就是每个顶点只能在三、四、五个面上，这分别对应于正四面体、正八面体、正二十面体；

?

正方形：每个角是 90°，所以正多面体每个顶点发出的角数目小于 360°/90° = 4，也就是每个顶点只能在三个面上，这对应于正方体； 正五边形：每个角是 108°，所以正多面体每个顶点发出的角数目小于 360°/108° = 10/3，也就是每个顶点只能在三个面上，这对应于正十二面体。

?

6. 证明：素数有无穷多个。 用反证法:

假设有最大的质数q

存在Q使得：2*3*5*7*11*13*......*q=Q (Q+1)一定与Q互质

所以Q+1不能被小于等于q的质数整除 因此Q+1为质数,且Q+1>q q不是最大的质数,与假设矛盾 所以质数有无穷多个.

7. 用直尺和圆规作出已知线段的黄金分割点，并作一个黄金矩形。

8. 用尺规作一个正五边形。 做法：

7

9. 证明斐波纳契命题：若a、b、c、d为正整数，且a:b ? c:d，a:b ? d:c，则

?a

2?b2??c2?d2??u2?v2?p2?q2

其中u、v、p、q均为正整数，且p?u，q?v。

10. 解决伽莫夫（G. Gamow, 1904～1968）问题：有一张破旧发黄的羊皮纸，上面指出某一无人荒岛上海盗宝藏的位置，同时指示：岛上仅有一棵橡树和一颗松树，还有一座断头台。从断头台开始直线走向橡树并记下步数，到达后向右转90°继续直走相同的步数，然后在停止处钉下一根钉子。再回到断头台直线走向松树，到达后左转90°继续直走相同的步数，同样在停止处钉下一根钉子。这时只要在两钉连线的中点处挖掘，就可以找到宝物。

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yDC (a+bi)断头台FxA(-1)OB (1)橡树松树E

一个年轻的探险家在得到这张羊皮纸后来到荒岛，他找到了两棵树，但断头台却荡然无存了！你能帮他找到宝藏位置吗？ 答案书上有例题。

11. 文艺复兴时期，艺术家将透视学用于绘画，试介绍所涉及的三个定理。 近大远小，近实远虚，平行线消失于一点定理

12. 一家旅馆有无穷多个房间，住满旅客。如何安排新来的10位旅客住宿？如何安排新来的可数无穷位旅客住宿？谈谈无限集和有限集的本质区别。

新来10位旅客：把1号房间的旅客移到11号房间，2号房间的旅客移到12号房间，3号房间的旅客移到13号房间等等，这样继续移下去。这样一来，新客就被安排住进了已被腾空的1号-10号房间。

新来可数无穷位旅客：把1号房间的旅客移到2号房间，2号房间的旅客移到4号房间，3号房间的旅客移到6号房间，如此等等，这样继续下去。现在，所有的单号房间都腾出来了，新来的无穷多位客人可以住进去。

无限集和有限集的本质区别：无限集必可对等于它的某个真子集，有限集则无此性质。

13. 文艺复兴时期德国著名艺术家丢勒（A. Dürer, 1471-1528）在其作品《忧郁》中构造了如下四阶幻方：

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II16594310615211714I138121IVIII试尽可能多地列举出该幻方所具有的性质。

答案： 幻方的两条对角线上数字之和等于34，中间四个数字、四个角上的数字等于34，四个象限中每个象限中的四个数字之和也都等于34。另外，《犹豫》作于1514年，最后一排中间两个数字组成了该创作年份。

14. 试证明拿破仑三角形为正三角形。

15. 《爱丽丝漫游奇境记》的作者卡洛尔曾提出一个著名的几何谬论，即“64=65”：如图，将边长为8的正方形分割为四块，重新拼合成边长为5和13的矩形。由此得到64=65！

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