概率论与数理统计教程答案(徐建豪版)

习题1.1

1、写出下列随机试验的样本空间.

（1）生产产品直到有4件正品为正，记录生产产品的总件数. （2）在单位园中任取一点记录其坐标. （3）同时掷三颗骰子，记录出现的点数之和. 解：（1）??{4,5,6,7,8?} （2）??{(x.y)x2?y2?1} （3）??{3,4,5,6,7,8,9,10,?,18}

2、同时掷两颗骰子，x、y分别表示第一、二两颗骰子出现的点数，设事件A表示“两颗骰子出现点数之和为奇数”，B表示“点数之差为零”，C表示“点数之积不超过20”，用样本的集合表示事件B?A，BC，B?C.

解：B?A?{(1.1),(2.2),(3.3),(4.4),(5.5),(6.6)}

BC?{(1.1),(2.2),(3.3),(4.4)}

B?C?{(1.1),(2.2),(3.3),(4.4),(5.5),(6.6),(4.6),(6.4),(5.6),(6.5)}

3、设某人向靶子射击3次，用Ai表示“第i次射击击中靶子”（i?1,2,3），试用语言描述下列事件.

（1）A1?A2 （2）(A1?A2)A3 （3）A1A2?A2A2 解：（1）第1，2次都没有中靶

（2）第三次中靶且第1，2中至少有一次中靶 （3）第二次中靶

4．设某人向一把子射击三次，用Ai表示“第i次射击击中靶子”（i=1，2，3），使用符号及其运算的形式表示以下事件：

（1）“至少有一次击中靶子”可表示为 ； （2）“恰有一次击中靶子”可表示为 ； （3）“至少有两次击中靶子”可表示为 ； （4）“三次全部击中靶子”可表示为 ；

1

（5）“三次均未击中靶子”可表示为 ； （6）“只在最后一次击中靶子”可表示为 . 解：（1）A1?A2?A3; (2) A1A2A3?A1A2A3?A1A2A3; (3)A1A2?A1A3?A2A3; (4) A1A2A3; (5) A1A2A3

(6) A1A2A3 5.证明下列各题

（1）A?B?AB （2）A?B?(A?B)?(AB)?(B?A)

证明：（1）右边=A（??B）?A?AB=????A且??B??A?B=左边

（2）右边=（AB)?(AB)?(BA）=????A或??B??A?B 习题1.2

1.设

A、B、C

三事件，

P(A)?P(B)?P(C)?14P(AC)?P(BC)?18,P(AB)?0，求A、B、C至少有一个发生的概率.

解：?P(AB)?0?P(ABC)?0

P(A?B?C).?P(A)?P(B)?P(C)?P(AB)?P(BC)?P(AC)?P(ABC)

=3?114?2?8?12 2.已知p(A)?0.5 ，P(AB)?0.2 ， P(B)?0.4，求 （1）P(AB)(2)P(A?B)， (3)P(A?B)， (4)P(AB).

解：（1）

?A?B,?AB?A?P(AB)?P(A)?0.1

（2）

?A?B,?A?B?B?P(A?B)?P(B)?0.5

3.设P(A)=0.2 P(A?B)=0.6 A.B互斥，求P(B). 解：?A,B互斥，P(A?B)?P(A)?P(B)

,

2

， 故P(B)?P(A?B)?P(A)?0.6?0.2?0.4 4.设A、B是两事件且P(A)=0.4,P(B)?0.8

（1）在什么条件下P(AB)取到最大值，最大值是多少？ （2）在什么条件下P(AB)取到最小值，最小值是多少？ 解：由加法公式P(AB)?P(A)?P(B)?P(A?B)=1.2?P(A?B)

（1）由于当A?B时A?B?B，P(A?B)达到最小， 即

P(A?B)?P(B)?0.8，则此时P(AB)取到最大值，最大值为0.4

（2）当P(A?B)达到最大， 即P(A?B)?P(?)?1，则此时P(AB)取到最小值，最小值为0.2 5.设

P(A)?P(B)?P(C)?1115,P(AB)?P(BC)?P(AC)?,P(A?B?C)?, 4816求P(A?B?C).

解：P(ABC)?1?P(ABC)?1?P(A?B?C)?1?151?, 1616P(A?B?C).?P(A)?P(B)?P(C)?P(AB)?P(BC)?P(AC)?P(ABC)

=3?1117?3??? 481616习题1.3

1.从一副扑克牌（52张）中任取3张（不重复）求取出的3张牌中至少有2张花色相同的概率.

解：设事件A={3张中至少有2张花色相同} 则A={3张中花色各不相同}

3111C4C13C13C13P(A)?1?P(A)?1??0.602 3C522.50只铆钉随机地取来用在10个部件上，其中有3个铆钉强度太弱，每个部件用3只铆钉，若将3只强度太弱的铆钉都装在一个部件上，则这个部件强度就太弱，问发生一个部件强度太弱的概率.

3

3

解法一 随机试验是从50只铆钉随机地取3个，共有C50种取法，而发生“某3C31一个部件强度太弱”这一事件只有C这一种取法，其概率为3?，而10

C501960033个部件发生“强度太弱”这一事件是等可能的，故所求的概率为

p??pi?i?110101 ?1960019603解法二 样本空间的样本点的总数为C50，而发生“一个部件强度太弱”这13一事件必须将3只强度太弱的铆钉同时取来，并都装在一个部件上，共有C10C3种情况，故发生“一个部件强度太弱”的概率为

13C10C31 p??31960C503.从1至9的9个整数中有放回地随机取3次，每次取一个数，求取出的3个数之积能被10整除的概率.

解法一 设A表示“取出的3个数之积能被10整除”， ， A1表示“取出的3个数中含有数字5”， A2表示“取出的3个数中含有数字偶数”

P(A)?P(A1A2)?1?P(A1A2)?1?P(A1?A2)?1?P(A1)?P(A2）?P(A1A2) ?8??5??4??1??????????1?0.786?0.214?9??9??9?解法二设Ak为“第k次取得数字，Bk为“第k次取得偶数”，5”k?1,2,3。 则A?(A1?A2?A3)(B1?B2?B3)

333A?(A1A2A3)?(B1B2B3)

P(A)?P(A1A2A3)?P(B1B2B3)?P(A1A2A3B1B2B3) 由于是有放回地取数，所以各次抽取结果相互独立，并且

P(A1)?P(A2)?P(A3)?85，P(B1)?P(B2)?P(B3)? 99 4

P(A1B1)?P(A2B2)?P(A3B3)?4 933?8??5??4?因此P?A??1?PA?1?[????????]?1?0.786?0.214

?9??9??9?4.袋内装有两个5分，三个2分，五个1分的硬币，任意取出5个，求总数超过1角的概率.

5解 共10个钱币，任取5个，基本事件的总数N?C10，有利的情况，即5

??3个钱币总数超过一角的情形可列举6种（1）5，5，2，2，2；（2）5,5,2,2,1;(3)5,5,2,1,1;(4)5,5,1,1,1;(5)5,2,2,2,1;(6)5,2,2,1,1.故包含的基本事件数为

2322121223131122N(A)?C2C3?C2C3C3?C2C3C5?C2C5?C2C3C5?C2C3C5?1?3?5?3?10?10?2?5?2?3?10?126

故所求概率为P?1261? 5C1025.设有N件产品，其中M件次品，今从中任取n件， （1）求其中恰有k(k?min(M,n))件次品的概率； （2）求其中至少有2件次品的概率.

kn?knn?1CMCNCN?M?M?MCN?M解：（1） （2）1- nnCNCN6．设n个朋友随机的围绕圆桌而坐，求下列事件的概率： （1）甲乙两人坐在一起，且乙在甲的左边； （2）甲、乙、丙三人坐在一起；

（3）如果n个人并列坐在一张长桌的一边，再求上述事件的概率.

（n?1）! 解（1）n个朋友随机的围绕圆桌而坐，样本空间样本点总数为

而事件A为甲乙两人坐在一起，且乙在甲的左边，可将两人“捆绑”在一起，看成是“一个”人占“一个”座位，有利于事件A发生的样本点个数为(n?2)!

于是P(A)?(n?2)!1?

(n?1)!n?1（n?1）!，而事（2）n个朋友随机的围绕圆桌而坐，样本空间样本点总数为

5

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