2014广东数学理科高考题(2)

cos??|cos?m,PC?|?|m?PC|?43?257，即所求．

19|m|?|PC|19?2

19.解：S2?4a3?20，S3?S2?a3?5a3?20，又S3?15，

?a3?7，S2?4a3?20?8，又S2?S1?a2?(2a2?7)?a2?3a2?7， ?a2?5，a1?S1?2a2?7?3， 综上知a1?3，a2?5，a3?7；

（２）由（１）猜想an?2n?1，学科网下面用数学归纳法证明． ①当n?1时，结论显然成立；

②假设当n?k（k?1）时，ak?2k?1，

3?(2k?1)2则Sk?3?5?7?(2k?1)??k?k(k?2)，又Sk?2kak?1?3k?4k，

2?k(k?2)?2kak?1?3k2?4k，解得2ak?1?4k?6， ?ak?1?2(k?1)?1，即当n?k?1时，结论成立；

由①②知，?n?N*,an?2n?1．

20.解：（１）可知c?5，又c?5，?a?3，b2?a2?c2?4，

a3x2y2??1； 椭圆C的标准方程为94（２）设两切线为l1,l2，

①当l1?x轴或l1//x轴时，对应l2//x轴或l2?x轴，可知P(?3,?2)

②当l1与x轴不垂直且不平行时，x0??3，设l1的斜率为k，则k?0，l2的斜率为?1，

kx2y2?1， l1的方程为y?y0?k(x?x0)，联立?94得(9k2?4)x2?18(y0?kx0)kx?9(y0?kx0)2?36?0， 因为直线与椭圆相切，学科网所以??0，得

9(y0?kx0)2k2?(9k2?4)[(y0?kx0)2?4]?0，

??36k2?4[(y0?kx0)2?4]?0， ?(x02?9)k2?2x0y0k?y02?4?0

所以k是方程(x02?9)x2?2x0y0x?y02?4?0的一个根， 同理?1是方程(x0?9)x?2x0y0x?y0?4?0的另一个根，

222ky02?4221，得x0?y0?13，其中x0??3， ?k?(?)?2kx0?9所以点P的轨迹方程为x?y?13（x??3），

222因为P(?3,?2)满足上式，综上知：点P的轨迹方程为x?y?13．

21.解：（１）可知(x?2x?k)?2(x?2x?k)?3?0，

2222?[(x2?2x?k)?3]?[(x2?2x?k)?1]?0，

?x2?2x?k??3或x2?2x?k?1，

?(x?1)2??2?k(?2?k?0)或(x?1)2?2?k(2?k?0)，

?|x?1|??2?k或|x?1|?2?k，

??1??2?k?x??1??2?k或x??1?2?k或x??1?2?k， 所以函数f(x)的定义域D为

(??,?1?2?k)（２）

(?1??2?k,?1??2?k)(?1?2?k,??)；

f'(x)????22(x2?2x?k)(2x?2)?2(2x?2)2(x?2x?k)?2(x?2x?k)?3(x2?2x?k?1)(2x?2)2223(x?2x?k)?2(x?2x?k)?3223，

由f'(x)?0得(x2?2x?k?1)(2x?2)?0，即(x?1?k)(x?1?k)(x?1)?0，

?x??1??k或?1?x??1??k，结合定义域知x??1?2?k或?1?x??1??2?k，

所以函数f(x)的学科网单调递增区间为(??,?1?2?k)，(?1,?1??2?k)，

同理递减区间为(?1??2?k,?1)，(?1?2?k,??)；

（３）由f(x)?f(1)得(x2?2x?k)2?2(x2?2x?k)?3?(3?k)2?2(3?k)?3，

?[(x2?2x?k)2?(3?k)2]?2[(x2?2x?k)?(3?k)]?0， ?(x2?2x?2k?5)?(x2?2x?3)?0，

?(x?1??2k?4)(x?1??2k?4)?(x?3)(x?1)?0， ?x??1??2k?4或x??1??2k?4或x??3或x?1， k??6，?1?(?1,?1??2?k)，?3?(?1??2?k,?1)， ?1??2k?4??1?2?k，?1??2k?4??1?2?k， 结合函数f(x)的单调性知f(x)?f(1)的解集为

(?1??2k?4,?1?2?k)(?1?2?k,?1??2k?4)．

(?1??2?k,?3)(1,?1??2?k)

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