高考数学一轮复习第2章函数导数及其应用第1节函数及其表示教师用(2)

________.

【导学号：31222019】

(1)A (2) [(1)由题意，自变量x应满足解得∴－3＜x≤0. (2)∵f(2x)的定义域为[－1,1]， ∴≤2x≤2，即f(x)的定义域为.]

求函数的解析式 (1)已知f＝lg x，求f(x)的解析式．

(2)已知f(x)是二次函数且f(0)＝2，f(x＋1)－f(x)＝x－1，求f(x)的解析式．

(3)已知f(x)＋2f＝x(x≠0)，求f(x)的解析式． [解] (1)令＋1＝t，由于x＞0，∴t＞1且x＝， ∴f(t)＝lg，即f(x)＝lg(x＞1)．

(2)设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，由f(0)＝2，得c＝2，f(x＋1)－f(x)＝a(x＋1)2＋b(x＋1)－ax2－bx＝x－1，即2ax＋a＋b＝x－1，

∴即∴f(x)＝x2－x＋2.

(3)∵f(x)＋2f＝x，∴f＋2f(x)＝.

?1?＋2f??＝x，???x?

联立方程组?1?1?＋

f＝，?????x?x

解得f(x)＝－(x≠0)．

[规律方法] 求函数解析式的常用方法

(1)待定系数法：若已知函数的类型，可用待定系数法； (2)换元法：已知复合函数f(g(x))的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围；

(3)构造法：已知关于f(x)与f或f(－x)的表达式，可根据已知

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条件再构造出另外一个等式，通过解方程组求出f(x)；

(4)配凑法：由已知条件f(g(x))＝F(x)，可将F(x)改写成关于g(x)的表达式，然后以x替代g(x)，即得f(x)的表达式．

[变式训练2] (1)已知f(＋1)＝x＋2，则f(x)＝________. (2)已知函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，且f(x)＝2·f·－1，则f(x)＝________.

(1)x2－1(x≥1) (2) ＋(x＞0) [(1)(换元法)设＋1＝t(t≥1)，则＝t－1，

所以f(t)＝(t－1)2＋2(t－1)＝t2－1(t≥1)， 所以f(x)＝x2－1(x≥1)．

(配凑法)f(＋1)＝x＋2＝(＋1)2－1， 又＋1≥1，∴f(x)＝x2－1(x≥1)． (2)在f(x)＝2f·－1中，用代替x， 得f＝2f(x)·－1，

?1?＝2f??·???x?

由?

?1?＝f?????x?

x－1，

1

－1，x

得f(x)＝ ＋(x＞0)．]

?角度

分段函数及其应用 1 求分段函数的函数值

(1)(2017·湖南衡阳八中一模)若f(x)＝则f＝

( )

A．－2 C．9

B．－3 D．－9

(2)(2017·东北三省四市一联)已知函数f(x)的定义域为(－∞，＋∞)，如果f(x＋2 016)＝那么f·f(－7 984)＝( )

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【导学号：31222020】

A．2 016 C．4

B. D.2 016

1

(1)C (2)C [(1)∵f(x)＝∴f＝log3＝－2，∴f＝f(－2)＝－2＝9.故选C.

(2)当x≥0时，有f(x＋2 016)＝sin x，∴f＝sin＝1；当x＜0时，f(x＋2 016)＝lg(－x)，∴f(－7 984)＝f(－10 000＋2 016)＝lg 10 000＝4，∴f·f(－7 984)＝1×4＝4，故选C.]

?角度

2 已知分段函数的函数值求参数

(1)(2017·成都二诊)已知函数f(x)＝若f(f(－1))＝2，

则实数m的值为( )

A．1 C.

B．1或－1 D.或－

3

(2)设函数f(x)＝若f＝4，则b＝( ) A．1 C.

B. D.2 1

(1)D (2)D [(1)f(f(－1))＝f(1＋m2)＝log2(1＋m2)＝2，m2＝3，解得m＝±，故选D.

(2)f＝3×－b＝－b，若－b<1，即b>，则3×－b＝－4b＝4，解得b＝，不符合题意，舍去；若－b≥1，即b≤，则2－b＝4，解得b＝.]

?角度

3 解与分段函数有关的方程或不等式

(1)(2017·石家庄一模)已知函数f(x)＝且f(x)＝－，

则x的值为________．

(2)(2014·全国卷Ⅰ)设函数f(x)＝则使得f(x)≤2成立的x的

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取值范围是________．

(1)－ (2)(－∞，8] [(1)当－1＜x≤0时，f(x)＝ sin＝－，解得x＝－；

当0＜x＜1时，f(x)＝log2(x＋1)∈(0,1)，此时f(x)＝－无解，故x的值为－.

(2)当x<1时，x－1<0，ex－1

当x≥1时，x≤2，x≤23＝8，∴1≤x≤8.综上可知x∈(－∞，8]．]

[规律方法] 1.求分段函数的函数值，要先确定要求值的自变量属于定义域的哪一个子集，然后代入该段的解析式求值，当出现f(f(a))的形式时，应从内到外依次求值．

2．已知函数值或函数值范围求自变量的值或范围时，应根据每一段的解析式分别求解，但要注意检验所求自变量的值或范围是否符合相应段的自变量的取值范围．

易错警示：当分段函数自变量的范围不确定时，应分类讨论． [思想与方法]

1．在判断两个函数是否为同一函数时，要紧扣两点：一是定义域是否相同；二是对应关系是否相同．

2．定义域优先原则：函数定义域是研究函数的基础，对函数性质的讨论，必须在定义域内进行．

3．求函数解析式的几种常用方法：待定系数法、换元法、配凑法、构造法．

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4．分段函数问题要分段求解． [易错与防范]

1．求函数定义域时，不要对解析式进行化简变形，以免定义域发生变化．

2．用换元法求函数解析式时，应注意元的范围，既不能扩大，又不能缩小，以免求错函数的定义域．

3．在求分段函数的值f(x0)时，首先要判断x0属于定义域的哪个子集，然后再代入相应的关系式；如果x0的范围不确定，要分类讨论．

课时分层训练(四) 函数及其表示

A组 基础达标 (建议用时：30分钟)

一、选择题

1．下列各组函数中，表示同一函数的是( ) A．f(x)＝x，g(x)＝()2 B．f(x)＝x2，g(x)＝(x＋1)2 C．f(x)＝，g(x)＝|x| D．f(x)＝0，g(x)＝＋1－x

C [在A中，定义域不同，在B中，解析式不同，在D中，定义域不同．]

2．(2017·福建南安期末)设M＝{x|－2≤x≤2}，N＝{y|0≤y≤2}，函数f(x)的定义域为M，值域为N，则f(x)的图象可以是( ) 【导学号：31222021】

A B C D

B [A项，定义域为[－2,0]，D项，值域不是[0,2]，C项，当x

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