2013年清华大学夏令营数学试题解答(3)

2ak2?22b，a(x?a)? x2?a?2221k1k?2?222abab结合（*）式，有2x1?a(x2?a)，即2OP?AQ?AR. 从而AQ、2OP、AR成等比数列.

证法二：由题意知直线l的斜率存在，设直线l的方程为y?k(x?a)，则R(0,ka).

22x2y2222222又直线OP的方程为y?kx，代入2?2?1，化简，得(b?ak)x?ab，

ab所以OP?1?k|xP?0|?1?k222abb?ak22.

x2y22222232222同理，将y?k(x?a)代入2?2?1，化简得(b?ak)x?2kax?a(b?ak)?0

ab得AR?1?k|xA?xB|?1?k2222ab2(xA?xB)?4xAxB?1?k2. 22b?ak222又AR?a1?k，所以2OP?AQ?AR.从而AQ、2OP、AR成等比数列.

说明：本题在2009年的清华大学的自主招生试题中就曾经出现过，是一道较为经典的试题.可参考《决胜自主招生》（2010版、2011版、2012版、2013版等）（贾广素 主编 济宁一中校本教材）

15.设集合X是含n(n?2)个元素的集合，A、B是X中的两个互不相交的子集，分别含有m，k（m?1，k?1，m?k?n）个元素.求X中既不包含于A也不包含于B的子集的个数. （2013年清华大学夏令营）（2009年复旦大学） 解：包含A的子集有2n?m个，包含B的子集有2n?k个，既包含A又包含B的子集为2nn?mn?m?k个，根据容斥原理，所以既不包含A也不包含B的子集的个数有2?2?2n?k?2n?m?k个.

说明：本题是2009年复旦大学的一道自主招生原题.其思路十分简单：首先X集合应该分为三类：一类是属于A的，一类是属于B的，另一类既不属于A也不属于B的.因此可用间接法来进行考虑.

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