热统习题答案(3)

dQ?CndT

因此式dU?dQ?dW可表示为

?Cn?CV?dT?pdV

用理想气体的物态方程pV??RT除以上式，且Cp?CV??R，可得

?Cn?CV?dTdV??Cp?CV? TV将理想气体的物态方程全式微分，有

dpdVdT?? pVT式?Cn?CV?dTdVdTdpdVdT??Cp?CV???与式联立，消去，有 TVTpVT?Cn?CV?令n?dpdV??Cp?CV??0 pV则得

?Cp?CV??Cn?CV?dpdV?n?0 pV如果Cn、Cp、CV都是常数，将上式积分即得

pVn?C（常量）

此式表明，过程是多方过程。

18、大气温度随高度而降低的主要原因在于对流层中的低处与高处之间空气不断发生对流。由于气压随高度而降低时，空气上升时膨胀，下降时收缩。空气的导热率很小，膨胀和收缩的过程可以认为是绝热过程。试证明这时大气温度随高度的变化率

dT可表示为 dzdT????1?mg ?dz?R证明：取z轴沿竖直方向（向上）。以p?z?和p?z?dz?分别表示在竖直高度z和

z?dz处的大气压强。二者之差等于两个高度之间由大气重量产生的压强，即

p?z??p?z?dz????z?gdz

式中??z?是高度为z处的大气密度，g是重力加速度。将p?z?dz?展开，有

p?z?dz??p?z??dp?z?dz dz代入式p?z??p?z?dz????z?gdz，得

dp?z?????z?g dz此式给出由于重力的存在导致的大气压强随高度的变化率。

以M表示大气的平均摩尔质量，在高度为z处，大气的摩尔体积为程为

M，则物态方??z?p?z?M?RT?z? ??z?dp?z?????z?g，消去??z?得 dzT?z?是竖直高度为z处的温度。代入式

dMgp?z???p?z? dzRT?z?p??1由式??恒量，得气体在绝热过程中温度随压强的变化率为

T??T???1T??p???p ??s由式

dMg??T???1T，有 p?z???p?z?和式???dzRT?z??p??p?s??T?dd??1Mg T?z???pz?????dz?R??p?sdz19、假设理想气体的Cp和CV之比是温度的函数，试求在准静态绝热过程中T和V的关系。该关系式中要用到一个函数，其表达式为

lnF?T???dT

??1T??解： 理想气体在准静态绝热过程中满足

CVdT?pdV?0

用理想气体物态方程pV?nRT除上式，可得

CVdTdV??0 nRTV对理想气体，有

Cp?CV?nR

所以可将式

CpCV??

CVdTdV??0改写为 nRTV1dTdV??0

??1TV此式积分，且定义

lnF?T???可得

dT

???1?TlnF?T?+lnV?C1?常量?

或

F?T?V?C?常量?

给出Cp和CV之比是温度的函数时，在准静态绝热过程中T和V的关系。

TA???Tm1TfpRnPn0oCpV?nRTm3UW1

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