黑龙江省牡丹江一中2011-2012学年高二下学期期末考试 数学理(2)

根据常理，优先派出完成任务概率大的人，可减少所需派出的人员数目的均值. 下面证明：对于p1,p2,p3的任意排列q1,q2,q3，都有

3?2q1?q2?q1q2?3?2p1?p2?p1p2,????????（*） 事实上，??(3?2q1?q2?q1q2)?(3?2p1?p2?p1p2) ?2(p1?q1)?(p2?q2)?p1p2?q1q2?2(p1?q1)?(p2?q2)?(p1?q1)p2?q1(p2?q2)?(2?p2)(p1?q1)?(1?q1)((p2?q2)?(1?q1)[(p1?p2)?(q1?q2)]

?0.即（*）成立.

（方法二）（i）可将（II）中所求的EX改写为3?(q1?q2)?q1q2?q1,若交换前两人的派出顺序，则变为3?(q1?q2)?q1q2?q1,.由此可见，当q2?q1时，交换前两人的派出顺序可减小均值.

（ii）也可将（II）中所求的EX改写为3?2q1?q2?q1q2，或交换后两人的派出顺序，则变为3?2q1?q3?q1q3.由此可见，若保持第一个派出的人选不变，当q3?q2时，

交换后两人的派出顺序也可减小均值. 序综合（i）（ii）可知，当(q1,q2,q3)?(p1,p2,p3)时，EX达到最小. 即完成任务概率大的人优先派出，可减小所需派出人员数目的均值，这一结论是合乎常理的.

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