第十一节 闭区间上连续函数的性质

第一章 函数与极限（§11函数的连续性的性质）

第十一节 闭区间上连续函数的性质

要求：能利用在闭区间上连续函数的基本性质分析一般函数的性质。 重点：闭区间上连续函数性质的理解。

难点：利用在闭区间上连续函数的基本性质证明题。 作业：习题1－11（P,2,3,4* 92）1定义 若函数f(x)满足条件（1）在[a,b]上有定义；（2）在(a,b)内连续；（3）在左端点a右连续，在右端点b左连续，则称f(x)为闭区间上连续函数．

一、最大值和最小值定理

最大（小）值定义 对于在区间I上有定义的函数f(x)，如果有点x0?I，使得对于任意x?I，均有f(x)?f(x0)(f(x)?f(x0))，则称f(x0)是函数f(x)在区间I上的

最大（小）值．

定理1（最大值最小值定理）

在闭区间I上的连续函数f(x)，在该区间I上一定有最大值和最小值． 即，如果函数f(x)在区间[a,b]上连续，那么 至少有一点??[a,b]，使得f(?)为函数f(x)在 区间[a,b]上的最大值，又至少有一点??[a,b]， 使得f(?)是函数f(x)在区间[a,b]上的最小值．

例1．函数y?sinx在区间[0,2?]上连续，在区间[0,2?]上有???2 ，使

?33sin?1?sinx，在区间[0,2?]上有???，使得sin???1?sinx，所以1和?1为

222函数f(x)在区间[0,2?]上的最大（小）值． 说明

（1）定理中对条件闭区间要求十分重要，若换为开区间结论不一定成立，如函数y?开区间(0,2)内无最值．

（2）定理中对条件，连续函数要求也十分重要，对闭区间上的非连续函数不一定有最值，

1在x??x?1,0?x?1?x?1如函数y?f(x)??1,．

??x?3,1?x?2?

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第一章 函数与极限（§11函数的连续性的性质）

（3）定理中的?不是唯一．

定理2（有界性定理） 在闭区间上的连续函数一定在该区间上有界．

证明 设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，由定理1，存在f(x)在区间[a,b]上的最大值M及最小值m，使得任一x?[a,b]满足

m?f(x)?M

上式表明，函数f(x)在闭区间[a,b]上有上界M和下界m，因此函数f(x)在闭区间[a,b]上有界．（可以取K?max{|m|,|M|}，使得|f(x)|?K）

二、介值定理

零点 若有点x0，使得f(x0)?0，则称点x0为函数f(x)的零点．

定理3（零点定理） 设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，且f(a)与f(b)异号 （即f(a)?f(b)?0），那么在开区间(a,b)内至少有函数f(x)的一个零点，即至少有一点

?(a???b)，使得f(?)?0．

几何解释 如果连续曲线弧y?f(x) 的两个端点位于x轴的不同侧，那末这段曲线弧与 x轴至少有一个交点．

定理4（介值定理） 设函数f(x)在闭区间

[a,b]上连续，且在区间端点取不同的函数值，即

f(a)?A?f(b)?B，

那么，对于A与B之间的任意值C，在开区间

(a,b)内至少有一点?，使得

f(?)?C(a???b)．

证明 设?(x)?f(x)?C，则函数?(x)在闭区间[a,b]上连续，且?(a)?A?C与

?(b)?B?C异号．根据零点定理，在开区间(a,b)内至少有一点?，使得

?(?)?0(a???b)．

但是?(?)?f(?)?C，因此由上式即得

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第一章 函数与极限（§11函数的连续性的性质）

f(?)?C(a???b)．

几何解释 连续曲线弧y?f(x)与水平直线y?C至少相交于一点．

推论 闭区间上的连续函数必取得介于函数最大值M与最小值m之间的任何值． 例2．验证方程2?4x?0在区间[0,1]内至少有一个根．

证 设函数f(x)?2x?4x，因为函数f(x)在闭区间[0,1]上连续且f(0)?1与

xf(1)??2异号，由零点定理，在开区间(0,1)内至少存在一点?，使得f(?)?0，即方程2x?4x?0在区间[0,1]内至少有一根．

思考题

1．如果函数f(x)在开区间(a,b)内连续，则在区间(a,b)内函数f(x)存在有最大值与最小值对吗？

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