菜篮子工程数学建模(2)

（销售点7，路口7） （销售点7，路口8） （销售点8，销售点9） （销售点8，路口7） （销售点8，路口8） （销售点9，路口7） （销售点10，路口7） （销售点10，路口15） （销售点11，销售点12） （销售点11，销售点18） （销售点11，路口2） （销售点12，销售点13） （销售点12，销售点17） （销售点12，路口1） （销售点13，销售点15） （销售点13，路口1） （销售点13，路口4） （销售点13，路口13） （销售点14，路口3） （销售点14，路口13） （销售点15，路口4） （销售点15，路口11） （销售点15，路口13） （销售点16，销售点17） （销售点16，销售点25） （销售点16，销售点26） （销售点16，路口1） （销售点16，路口4） （销售点17，销售点18） （销售点17，销售点23） （销售点17，销售点24） （销售点17，路口1） （销售点18，销售点22）

4

5 12 20 3 10 4 7 3 7 5 17 11 16 5 15 8 11 6 2 2 2 4 2 3 4 7 9 3 11 5 18 10 10

（销售点18，销售点23） （销售点18，路口15） （销售点19，销售点20） （销售点19，销售点21） （销售点19，销售点22） （销售点19，路口15） （销售点20，销售点21） （销售点20，路口6） （销售点21，销售点22） （销售点21，销售点32） （销售点21，路口6） （销售点22，销售点23） （销售点22，销售点31） （销售点23，销售点24） （销售点23，销售点31） （销售点24，销售点25） （销售点24，销售点29） （销售点24，销售点30） （销售点24，路口12） （销售点25，销售点26） （销售点25，销售点28） （销售点26，销售点27） （销售点26，路口4） （销售点26，路口11） （销售点27，销售点28） （销售点27，路口11） （销售点28，销售点29） （销售点29，路口12） （销售点30，销售点31） （销售点30，销售点35） （销售点30，路口12） （销售点31，销售点34 ） （销售点32，销售点33 ）

5

9 2 10 8 7 5 6 4 4 7 6 4 6 13 8 6 7 9 11 4 3 3 4 5 6 6 5 5 7 8 6 5 6

（销售点32，路口6 ） （销售点33，销售点34 ） （销售点34，销售点35 ） （销售点34，路口5 ） （路口2，路口14 ） 5 9 9 2 10

二、问题的分析

会议筹备组要制定预订宾馆客房，租借会议室，租用客车的方案，需综合考虑经济、方便、代表满意等方面，即使租借客房的空房费用最少、租借会议室总费用最少和租用客车总费用最少，且各预定宾馆之间距离比较靠近；由附图知，③④⑩三个宾馆相对较分散，可不予考虑。

对客房预订方案问题，其优化目标为使空房费用最少，由于空房费与预定的客房数量有关，可将客房预订方案转化为以预订客房总数量最少为目标函数，以各宾馆的客房数量及价格与参加会议的代表数量为约束条件的线性规划模型，用LINGO软件计算出每个宾馆各种客房的预定间数及所需宾馆数量；其中参加会议的与会代表是一个未知的量，因为从以往几届会议情况看，有一些发来回执的代表不来开会，同时也有一些与会的代表事先不提交回执，所以可以根据前几届的会议代表回执和与会情况和本届回执中有关住房要求的数据进行预测，表1只给出了前四届相关数据，可用灰色理论的GM(1，1)模型进行预测，该方法在数据量较少的情况下预测结果较为准确。通过估算预测值中合住与独住人数，从而确定出单人间客房和双人间客房的预定数量。对会议室的租用问题，以租借总费用最少为目标函数，以总的可用会议室间数，可用会议室的租用价格，参加每个会议的人数为约束条件，建立线性规划模型。对客车租用问题，可由宾馆的入住人数和会议室地点的数据，使用线性规划模型求出租用客车费用最少情况下的客车租用方案。逐步优化模型，在参会代表满意的情况下，使筹备组所支付的总费用最小，最终制定出预订宾馆客房、租借会议室与租用客车的最优方案。

三、模型假设

1. 与会代表都在同一天登记住房；

2. 预测的与会代表中代表的住房比例与回执数据中人员的住房比例一致； 3. 租借的会议室在与会代表下榻的某几个宾馆中选取；

4. 与会代表距离其会议地点小于400米时不需要租用客车；

5. 预订宾馆时间按整天计算，租借会议室与租用汽车时间按半天计算；

6. 所有需要用客车接送的与会代表都在第⑧家宾馆门口下车，且中途不停车。

四、符号说明

1. m：各届会议发来回执的代表数量；

2. n：各届会议发来回执但未与会的代表数量；

6

3. v：各届会议未发回执而与会的代表数量；

4. xij,i?1,2,5,6,7,8,9,j?1,2,3,4;：七个宾馆中每种房间的预定间数； 5. yij,i?1,2,5,6,7,8,9,j?1,2,3,;：每个宾馆中租用会议室的间数； 6. aij,i?1,2,5,6,7,8,9,j?1,2,3,4;：预订宾馆中的双人间中合住的房间数； 7. bij,i?1,2,5,6,7,8,9,j?1,2,3,4;：预订宾馆中的双人间中独住的房间数； 8. ai,i?1,2,......12;：①，②，⑤，⑥四家宾馆中预定每一种车的辆数。

五、模型的建立与求解

5.1 测本届与会代表数量

以往几届会议代表回执和与会情况见表1.

表1：以往几届会议代表回执和与会情况

第一届 第二届 第三届 第四届 发来回执的代表数量（m） 315 356 408 711 发来回执但未与会的代表数量(n) 89 115 121 213 未发回执而与会的代表数量(v) 57 69 75 104 由表1可以计算每届会议发来回执但未与会的代表数量与发来回执的代表数量的比值，未发回执而与会的代表数量与发来回执的代表数量的比值见表2。

表2：各类代表数量在发回执代表数量中的比例

n/m v/m 第一届 0.2825 0.1810 第二届 0.3230 0.1938 第三届 0.2966 0.1838 第四届 0.2996 0.1463 根据表2的相关数据，利用GM(1，1)预测模型预测第五届会议的n/m,v/m数值并进行相关检验。

GM(1，1)预测模型的具体步骤如下：

设有原始时间数列x0??x0?1?,x0?2?,,x0?n??，对其作一次累加生成运算， 即令

x?k???x0?i?,k?1,2,1i?1k,n. （1）

从而可得新的生成数列x1??x1?1?,x1?2?,,x1?n??，新的生成数列x1一般近似地服从指

数规律，因此它满足如下灰色预测的微分方程GM(1，1)，其白化形式为

dx1?ax1?b （2） dt其中a,b为辨识参数。

为了估计参数a,b，可以将式（2）进行离散化处理得

7

??x1?k?1???aX1?k?1??b,k?1,2,11 ??x1?k?1???x?k??1??x,n?1, （3）

其中??x1?k?1??为生成数列x1在第k?1时刻的累减生成，即

1? . (4) ?k??0xk?dx1在灰色预测中，式（3）中的X?k?1?为在第k?1时刻的背景值，一般取其均

dt值生成，即

111xk?x?k1 X1?k?1??? . （5） ???????2将式（4），（5）代入式（3）中，有

?0?11?1x2?a?x1?x2?b,????????????2???0?11?1?x?3??a???x?2??x?3????b, （6） ?2?????0?11?1xn?a?xn?1?xn?b.????????????2??111?1111?x1?x2?x?2?x???????3?????令 B?22?1?1Y??x0?2?x0?3?x0?n??,???ab?.

TT11??x???n?121?x1????n，

??T则式（6）可简化为如下线性模型

Y?B?. (7) 由最小二乘估计方法得

???BTB?BTY (8)

?1式（8）估计出来的参数代入到式（2）的白化形式.

bdp??adt，由分离变量法得p?ce?at,其中c为常数， 令x1??p,则有

ap考虑到初值x1?t0??x0?1?,所以c??x0?1??b/a?e?at0,从而有

b?b??1?t???x0?1???e?ak?. (9) xa?a?式（9）就是GM(1，1)模型的时间响应函数形式，将它离散化得

b?b??1?k?1???x0?1???e?ak?. (10) xa?a??1?k?1?再作累减生成可进行预测。即 对序列xb???0?k?1??x?1?k?1??x?1?k???x0?1????x1?ea?e?ak ??a?? k?1,2,,n,n?1,. (11)

式（11）便是GM(1，1)模型的预测的具体计算式。

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