中国数学史(2)

基础，为中国传统数学形成了独特的理论体系。

刘徽利用出入相补原理，即利用图形的分、合、移、补的方法证明平面图形如圭田、邪田、箕田、圆田、宛田、弧田、环田的面积算法，还用以证明勾股原理以及整数勾股弦的一般公式。设勾、股、弦分别为ａ、ｂ、ｃ，整数勾弦一般公式为： ａ∶ｂ∶ｃ＝［ｍ２－１/２（ｍ２＋ｎ２）］∶ｍｎ∶１/２（ｍ２＋ｎ２）

至于直线型柱体如城、垣、堤、沟、堑、渠的体积或容积算法，也以出入相补原理予以证明；刘徽把出入相补原理作为一条普遍的原理，应用于几乎全部的几何理论之中。刘徽又利用三种基本几何体，即堑堵、阳马、鳖臑，他先证明三种基本几何体的体积算法，再把直线型非柱体的立体分割为三种基本几何体，然后证明其体积算法。可见，刘徽把三种基本几何体作为多面体体积算法的理论关键。对于圆型AE?面图形如圆田、弧田的面积算法，刘徽则是利用极限观念和出入相补原理证明其面积算法，并求得圆周率较精密之值分别为 π＝１５７/５０＝３．１４，

π＝３９２７/１２５０＝３．１４１６。

对于环田，乃是将环田之周拉直，使变为等积的梯形，再用出入相补原理证明其面积算法。刘徽在推证圆型立体时，采用了截割原理，即是在圆柱、圆锥、圆台上，各作一外切方柱、方锥、方台，以圆型立体与其外切方型立体体积之比为π：４，从方型立体可证得圆型立体的体积算法。刘徽在正方体上，作相互垂直的两圆柱，称两圆柱的公共部分?quot;牟合方盖\，在\牟合方盖\里作内切球，刘徽深知\牟合方盖\与其内切球体的体积之比为４∶π，他虽未求得球体积算法，但他提出其体积之比，在算法理论上是十分珍贵的。刘徽在推证勾股原理的基础上，还用面积理论推证有关勾、股的各种线段的求法，还用相似勾股形性质推证\勾股容方\、\勾股容圆\的求法，也证明了简单的测量算法。刘徽对数学名词改变了\约定俗成\的惯例，对一些名词给予明确的定义，如?quot;率\定义为\凡数相与者，谓之率。等除法实，相与率也。即是说，凡数与数之比，称之为\率\，约简两数之比，则称为相与率\。并把\率\概念几乎应用到所有算法之中，作为各种算法的主线。给正负数所下定义为：\今两算得失相反，要令正负以名之\。还给\方程\下了正确的定义，既给出\方程\有确切解的条件，又给出\方程\的同解理论，并创造性的给出\方程\的新解法。此外，刘徽还对幂、齐同通、列衰、开平方、开立方、鳖臑、阳马、堑堵、勾、股、弦等数学名词都给出正确的定义。刘徽的这些定义，不但没有含混不清之词，也没有循环定义之举，都合于逻辑，因而成为演绎论证的理论依据。刘徽在推理演绎与证明方法上，既有归纳，也在演绎；既有综合法，也有分析法，还有反证

法；在逻辑方面是十分丰富的。于是在中国传统数学理论的发展上，形成了第一次高峰。西汉时期，主张盖天学说的天文学家创造了测量日高、远的方法，称之为重差术，到刘徽时代，几乎失传。刘徽乃潜心研究测量原理，使重差术加以发展，并由两次测望推广至三次、四次测望，编撰九道测量问题，缀于《九章算术》之终。唐代，李淳风为国子监审定数学教材，使另行单本，因其第一问\今有望海岛\，故称之为《海岛算经》。可见刘徽在测量理论上的成就是卓著的。

生活在南北朝宋、齐时代的著名数学家祖冲之及其子祖暅，对数学有很出色的贡献，例如他们父子曾作《缀术》一书，可惜早已失传。保留至今的，只有祖冲之所创造的圆周率，即介于盈朒二限： ３.１４１５９２６＜π＜３.１４１５９２７， 密率：π＝３５５/１１３，约率：π＝２２/７。

还有其子祖暅解决了刘徽所提出的\牟合方盖\体积问题，从而得到球体积的巧妙证法。

在南北朝成书的《孙子算经》三卷，是一部数学普及著作，其卷下除有\鸡兔同笼\问题外，还有著名的\物不知数\题，即\今有物，不知其数。三三数之，剩二；五五数之，剩三；七七数之，剩二。问物几何\。也即现今之一次同余式组问题；设所求之物数为Ｎ，则有ＮQ２（qpo３），ＮQ３（qpo５），ＮQ２（qpo７），《孙子算经》给出Ｎ的最小解为Ｎ＝２３，西方学者一直称这问题为中国剩余定理，我们则称之为\孙子定理\。《张邱建算经》也是一部数学普及著作，书中涉及最大公约数和最小公倍数的正确求法，还有七道问题涉及等差级数及其解法，有的固是继承《九章算术》的成果，但等差级数更多的内容则是创新；《张邱建算经》卷下，有一\百鸡问题\，是著名的不定方程问题。即\今有鸡翁一，值钱五；鸡母一，值钱三；鸡雏三，值钱一。凡百钱买鸡百只，问鸡翁、母、雏各几何\。书中共给出四组答案。虽然《九章算术》已有不定方程的记载，但一题数答却始自《张邱建算经》。 隋唐数学

唐代初期，太史丞、历算家王孝通编撰《缉古算经》一书，全书由二十问集成。其第一问是算术问题，已知日月合朔时刻及夜半时日所在赤道经度，推求夜半时月所在赤道经度。第二至十四问，是土木建筑问题；需用三次方程求解。第十五至二十问，是勾股问题；需用三次方程或双二次方程求n解。《缉古算经》虽未给出解三次方程的具体计算步聚，但王孝通必然是用带从开立方法来解的，这显然是一项辉煌成就；他还用自注形式给出方程各项系数的组成方法，这一作法，也是难能

可贵的。唐代沿袭隋代的办学制度，建立国子监，设立数学专业，天算家李淳风奉命选定并校注数学专业教材，因此选定《周髀算经》、《九章算术》、《海岛算经》、《孙子算经》、《五曹算经》、《张邱建算经》、《五经算术》、《缀术》、《缉古算经》、《夏侯阳算经》等１０部算经，作为教科书。在唐代，还规定了学制，也规定了考试制度和考试成绩即是及格、不及格的标准。

自隋代建立国子寺之后，到唐代才逐渐形成一定的教育制度，不但影响隋唐以后的各代，这种教育制度也直接传入朝鲜、日本等国。随着教育制度的传播，一些中国古代数学著作也传入朝鲜、日本；对朝鲜、日本的数学发展，产生了一定的影响。随着佛教及其经典的传入，印度的一些数学知识也传入中国，例如印度数码随着《开元占经·九执历》传入，由于没有把印度数码写法刊刻出来，以致印度数码当时没有在中国流传下来；又如，在《九执历》里记载有从０度到９０度每隔３．７５度的正弦线值表（其半径取为３４３８），由于此表没有引起当时中国历算家的重视，此表在中国也就没有起到应有的作用和影响。但是，中国数学是否传播到印度，则是一个需要深入研究的课题。 宋元数学

中国传统数学的发展中，宋元数学达到了较高水平，并遥遥领先于世界，成为中国传统数学的第二次高峰。北宋数学家刘益，著有《议古根源》，现已失传。只能从南宋杨辉的著作中看到一些端倪。《议古根源》打AEAE了古代对方程系数的一些限制，提出新解法，即正负开方术，经后世数学家的发展，即形成著称的增乘开方法。北宋另一数学家贾宪，著有《算法斅古集》、《黄帝九章算法细草》二书，此二书均已失传；只能从杨辉的著作中，了解其中的梗概。对于方程解法，贾宪提出\立成释锁平方法\、\增乘开平方法\、\立成释锁立方法\、\增乘（开立）方法\四法，其中释锁平方、释锁立方与《九章算术》相似，而增乘开方法却比旧法简明得多。另外贾宪还提出\开方作法本源\图，现称为\贾宪三角\，实即二项式展开系数表，这是中国传统数学的优秀成果之一，也是方程理论的重要内容。沈括，字存中，号梦溪，钱塘（今杭州）人，著有《梦溪笔谈》、《梦溪补笔谈》，其中给出隙积术、会圆术、AE?局都数，这三项都是中国传统数学上的杰出成就。隙积术，是推求累棋、层坛、积罂的求和公式，也即垛积术的开端；会圆术即是由弦、矢求弧的算法；棋局都数是计算棋局的总数。如清代《畴人传》称：\隙积、会圆二术，补《九章》所未及\。

南宋数学家秦九韶，著有《数书九章》，其中集有８１问，分为１８卷，厘为九类，每类九题。《数书九章》对数学的

主要贡献计有：\大衍总数术\，即一次同余式组的一般解法；书中给出了三个乃至八个模数的问题；\正负开方术\，即高次方程的数值解法；书中也给出了８次乃至１０次方程的问题；而这两项代表了中国传统数学的最高成就，也标志着当时世界数学的最高水平。另外，秦九韶还改进了《九章算术》的\方程\术，即改进线性方程组解法为\互乘对减\消元法。他也独立地由三角形三边求得三角形的面积，即所谓\三斜求积\术，这与古希腊海伦公式是等价的。

南宋数学家杨辉，著有《详解九章算法》１２卷、《日用算法》２卷、《乘除通变本末》３卷、《田亩比类乘除捷法》２卷、《续古摘奇算法》２卷，共计５种算书，其后三种一般称为《杨辉算法》。在《详解九章算法》中，选《九章算术》８０问作为典范，进行详解，并增添\图草\、\乘除算法\、\篡类\三卷；在\篡类\里，引述了刘益的\正负开方术\贾宪的\增乘开方法\与\开方作法本源都是十分珍贵的数学史料。在《日用算法》里，把数学内容编成韵文，便于记诵，成为中国民间数学的特色。《乘除通变本末》是论述乘除算法、加减算法、求一算法诸术。《田亩比类乘除捷法》可看作是《详解九章算法》的延续。而《续古摘奇算法》则是搜?quot;诸家算法奇题及旧刊遗忘之文，其上卷主要论述纵横图，下卷主要论说《海岛算经》。

杨辉对一些纵横图给出了造术方法，为古代数学著作之所缺；杨辉用面积概念论证《海岛算经》的\日高\、\日远\公式，成为后人研究《海岛算经》造术的依据之一。中国古代，很早就有以算筹表示方程的方法，但是，关于建立方程的一般方法则是当务之急；由于方程理论的高度发展，北方一些数学家开创了\天元术\，\天元术\就是用文字表示未知数以建立一元方程的方法。李冶虽不是天元术的首创学者，但是，他的著作《测圆海镜》１２卷、《益古演段》３卷，都是天元术的专门著作，对于天元术的发展和推广却起到不可忽视的作用。在《测圆海镜》里，李冶太字表示常数项，或以元字表示一次项，用\太\不用\元\，用\元\不用\太\，这就是他改进原来天元术建立方程的方法；他还把建立方程方法的步骤制度化，首先是\立天元一为某某\，相当于\设Ｘ为某某\；然后依题意列出一多项式，称为天元筹式\；再依据题意列出另一多项式，称为\同数\；最后天元筹式与同数两式相消，即是相减，即得一元高次方程。用这种方法建立方程，不但改变古代用几何法建立方程的繁难，而且所建方程之次数也不受限制。对于高次方程，则采?quot;增乘开方法\以求其解。

李冶在《测圆海镜》里，先提出６９２条几何命题，作为全书的理论依据，又给出得自\洞渊九容之说\，连同《九章算术》的\勾股容圆\，共计十种容圆公式，作为此书１７０问的基础。在《益古演段》中，一方面用天元术来解所列６４问几何题，一方面对比蒋周《益古集》的旧解法，从而看出李冶在天元术方面的贡献。随着天元术的发展，北方数学家又创立了

二元术、三元术，即是二元代数学、三元代数学，基于此，元代中期朱世杰创立了四元术，即四元代数学。朱世杰著有《四元玉鉴》、《算学启蒙》二书，书中用\天\、\地\、\人\、\物\四字分别表示四种未知数，根据题意，可以列出四个未知数的高次方程组，而四元术的精华是\消元\，通过\消元\，使四元方程化为三元方程，再使三元方程化为二元方程，由二元方程化为一元高次方程，然后将用\增乘开方法\以求其解。朱世杰的\消元\法，是中国传统数学的一项杰出成就，不但领先于西方四百余年，用\消元\法解多元高次方程组的精神是值得称道的。

在《四元玉鉴》及《算学启蒙》里，还在另项杰出的成就，就是在沈括隙积术的基础上，系统地发展了垛积术及其相关的内插；也就是开创性地对高阶等差级数作了系统的研究，取得了辉煌的成绩，并领先于西方三四百年之久。在宋元期间，中国传统数学取得非常丰富的辉煌成果，可以说中国传统数学达到了全盛时期。 明清数学

在明代，由于政治腐败、不注重理论、废除数学考试等原因，使得中国传统数学逐渐走向缓慢发展的道路。在当n时，社会上流传着数十种数学著作，这些著作大都是反映日常应用数学和商业贸易数学，其内容比较浅显，文字通俗易懂，还编撰了各种歌诀，便于记忆，其算法也容易掌握，因此促使这种数学广为流传，而古代的《九章》、天元术、四元术等则几乎成了绝学。当时的代表作计有吴敬《九章算法比类大全》、程大位《直指算法统宗》、王文素《新集通证古今算学宝鉴》三书，这些书籍虽然采用《九章算术》各章的名目，但其内容却多是日用或商业的数学知识，还有一大部分内容属于珠算的技巧和算法。于是珠算之盛行与普及代替了古代的筹算法，以筹算为基础的传统数学也渐次匿迹、消失。

在中国传统数学走向低谷的时候，西方教士利玛窦首先来华，一方面传播教义，一方面传入西方的科学以及数学知识。万历三十五年（１６０７），他便与徐光启合译了欧几里得的名著，称为《几何原本》前６卷。继利玛窦之后，有大批西方教士接踵来华，有的在政府部门里工作，有的在教堂传播教义，他们编撰、翻译了不少西方科学著作，仅就数学而论，所编、译的著作多属于初等数学范畴，因而对中国传统数学产生了一定挠跋臁?

在中算濒于失传，西算刚刚输入之际，中国学者的态度极不一致，有人以为\薄古法为不足观\，有人以为\斥西人为异学\，而清初数学家梅文鼎则主张：\法有可采何论东西，理所当明何分新旧\。于是他融会贯通中西之学，自成一家之言。其著作颇丰，粗略统计，约８８种之多，达２００余卷。主要著作有：《筹算》、《笔算》、《度算释例》、《平三角举要》、

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