金台区2013届高三质量检测试题（卷）
理科数学 2012.11
注意事项：
1．答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡及答题纸规定的位置上
2．选择题答案使用2B铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号；非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚，将答案书写在答题纸规定的位置上
3．所有题目必须在答题卡或答题纸上规定位置作答，在试卷上答题无效 .
参考公式：锥体的体积公式V=
nn?11(x)??nx(xy)??x?y?xy? ，，.
如果事件A、B互斥，那么P（A+B） = P（A）+ P（B）.
3?1(lnx?)?xsh，其中S是锥体的底面积，h为锥体的高 .
如果事件A、B相互独立，那么P（A·B）= P（A）· P（B）.
第Ⅰ卷（选择题 共50分）
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的（本大题共10小题，每小题5分，共50分）.
21. 已知集合M??xlog2x?0?,N?xx?2x?0,则“a?M”是
?? “a?N”的
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 2. 下列函数中，既是偶函数，又是在区间(0，+?)上单调递减的函数是
12?|x| A. y?ln()B. y?xC. y?2D. y?cosx
x
x?y3. 已知x,y?R，i为虚数单位，且xi?y??1?i，则(1?i)的值为
A. 2 B.?2i C. ?4 D. 2i
224. 已知圆O:x?y?4，直线l过点P(1,1),且与直线OP垂直，则直线l的
方程为 A. x?3y?4?0 B. y?1?0 C. x?y?0 D. x?y?2?0
5. 如图，某几何体的正(主)视图与侧(左)视图都是边长为1的正方形，且它的 体积为，则该几何体的俯视图可以是
1
2
6. 右面茎叶图表示的是甲、乙两人在5次综合测评中的成绩，其中一个数字 被污损.则甲的平均成绩超过乙的平均成绩
72 A. B.
10594 C. D.
105
的概率为
甲 9 8 2 1 0 8 9 乙 3 3 7 9
7. 设函数f(x)?13x?lnx(x?0)，则y?f(x)
A. 在区间(e?1,1),(1,e)内均有零点 B. 在区间(e?1,1),(1,e)内均无零点
C. 在区间(e?1,1)内有零点，在区间(1,e)内无零点 D. 在区间(e?1,1)内无零点，在区间(1,e)内有零点
8. 有5名同学参加唱歌、跳舞、下棋三项比赛，每项比赛至少有一人参加，每人只能参加一项比赛，若其中某一位同学不能参加跳舞比赛，则参赛方案共有 A. 112种 B. 100种 C. 92种 D. 76种
1
9. 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，设S为△ABC的面积，满足S(b2
4
开始 22
＋c－a)，则角A的最大值是
??输入a ,b
A．
6 B．
D．
4
否
是
C．
3210. 定义某种运算?，a?b的运算原理如右图
?? 所示：设f(x)?(0?x)x,则f(x)在区间 [-2，2]上的最小值为 A. －4
B.－2
C. －8
输出 结束
D. 2
第Ⅱ卷（非选择题，共100分）
二、填空题：（本大题共5小题，每小题5分，共25分）
112111311??，???，??11.观察等式：2?31?22?331?22?33?44 1?2 根据以上规律，写出第四个等式为： . ．．．．．
?a?12．若?x?2?展开式的常数项为60，则常数a的值为 ．
x??6?3?411?44?5, 513．为了在“十一”黄金周期间降价搞促销，某超市对顾客实行购物优惠活动， 规定一次购物付款总额：①如果不超过200元，则不予优惠；②如果超 过200元，但不超过500元，则按标价给予9折优惠；③如果超过500 元，其中500元按第②条给予优惠，超过500元的部分给予7折优惠．辛 云和她母亲两次去购物，分别付款168元和423元，假设她们一次性购 买上述同样的商品，则应付款额为 元．
14．若曲线y?x在点(a,a)(a?0)处的切线与两个坐标轴围成的三角形的面积为2，则
a等于 .
15．本题A、B、C三个选答题，请考生任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分. A．（不等式选讲选做题）若不等式|x?1|?|x?m|?2m的解集为?, 则m的取值范围为 .
B. （几何证明选讲选做题）如图所示，已知AB和 AC是圆的两条弦，过点B作圆的切线与AC的 延长线相交于点D.过点C作BD的平行线与圆
22
相交于点E，与AB相交于点F，AF＝3，FB＝1，
3
EF＝，则线段CD的长为 ．
2
? C．（极坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，?(2,)的直角坐标
3 是 .
三．解答题(本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或 演算步骤)
16．（本小题满分12分）
urr???已知向量m???2sin???x?,cosx?，n??3cosx,2sin(?x)?，函
2??urr数f(x)?1?m?n．
（1）求函数f(x)的解析式； （2）求f(x)的周期及单调递增区间．
17．（本小题满分12分）
已知数列{an}满足a1?1,an?an?1?anan?1,数列{an}的前n项和为Sn. （1）求证：数列??1??为等差数列； a?n? （2）设Tn?S2n?Sn，求证：Tn?1?Tn. 18．（本小题满分12分）
如图甲，在平面四边形ABCD中，已知?A?45?,?C?90?,
? ?ADC?105, AB?BD,现将四边形 ABCD沿BD折起，使平面ABD?平 面BDC（如图乙），设点E、F分别为
棱AC、AD的中点．
? （1）求证：DC平面ABC； （2）求二面角A-EF-B的余弦值．
图甲 图乙 19. （本小题满分12分） 已知椭圆C:xa22?yb22?1 (a? b???的离心率，以原点为圆心，椭圆
短半轴长为半径的圆与直线x?y?2?0相切，P为椭圆C上的动点. （1）求椭圆C的标准方程;
OP??，求点M的轨迹方 x（2） M为过P且垂直于轴的直线上的点，若OM程， 并说明轨迹是什么曲线？
20.（本小题满分13分）
某学校要用三辆车把考生送到某考点参考，已知从学校到考点有两条公
13路，汽车走公路①堵车的概率为，不堵车的概率为；汽车走公路②
44
堵车的概率为p，不堵车的概率为1?p，若甲、乙两辆汽车走公路①， 丙汽车由于其他原因走公路②，且三辆车是否堵车相互之间没有影响.
7 （1）若三辆车中恰有一辆车被堵的概率为，求走公路②堵车的概率；
16 （2）在（1）的条件下，求三辆车中被堵车辆的个数?的分布列和数学期 望.
21. （本小题满分14分）已知函数
1 （1）当0?a?时，求f(x)的单调区间;
21（2）设g(x)?x2?2bx?4，当a?时，若对任意x1?(0,2)，存在
4 x2??1,2?，使f(x1)?g(x2)，求实数b的取值范围.
高三理科数学质量检测题答案
一、选择题：ACDDC CDBBA 二、填空题：11.
12.413.546.6
1m?14. 2 15. A . B.
3
三、解答题：
16．（本小题满分12分）
urr???解：（1）∵mgn??2sin???x?3cosx?2cosxsin??x?
?2???23sinxcosx?2cosx??3sin2x?cos2x?1????3分
243 C. (1,3)
urr ∴f(x)?1?mgn???3sin2x?cos2x????????????4分
∴f(x)?2sin?2x?????????????????????????6分 6?（2）由（1）知函数f(x)的周期是T?又?解得??26?2k??2x??k??x?2?2??????8分
?6??2?2k?(k?Z)，
??3?k?(k?Z)，
????∴f(x)的单调递增区间为???k?,?k??(k?z).?????12分
3?6?
17．（本小题满分12分） （1）证明：由an?an?1?anan?1,
1?1an?1????3分
从而得an?1?a1?1?数列??1??是首项为1，公差为1的等差数列. ????5分 ?an?1111(2)??n则an?,?sn?1?????????7分
n23nan
∴Tn?S2n?Sn＝1?＝
1n?1?12?13???1n?1n?1???12n?(1?12?13???)n 111n?2???112n1????9分
12n?21n?11n?212n证法1：∵Tn?1?Tn? ＝
1n?2?n?3????(????)
2n?1?12n?2?1n?1＝
12n?1?12n?2?1(2n?1)(2n?2)?0
∴Tn?1?Tn．????12分
12n?112n?2?证法2：∵2n?1?2n?2 ∴
12n?2?12n?21
∴Tn?1?Tn??n?1?0
∴Tn?1?Tn．????12分
18．（本小题满分12分）
（1）证明：在图甲中∵AB?BD且?A?45
∴?ADB?45，?ABD?90?，AB?BD ? 2分
在图乙中，∵平面ABD?平面BDC ， 且平面ABDI平面BDC＝BD ∴AB⊥底面BDC，∴AB⊥CD． ??4分 又?DCB?90，∴DC⊥BC,且ABIBC?B ∴DC?平面ABC． ????6分
Z???（2）解法1：如图，以B为坐标原点，建立空间直角坐标系如下图示，
AFE
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