Pi值的计算（mathematica数学实验报告） - 图文

姓名 @@@@@@@ 学院 @@@@@@@@ 班级 实验题目 实验目的： 1、用多种方法计算圆周率?的值； @@@@@@@@@ 学号 评分 @@@@@@@@@@ ?值的计算 2、通过实验来体会各种方法的区别，比较各种方法的优劣； 3、尝试自己提出新的方法来计算圆周率?的值。 实验环境： 学校机房，Mathematica4.0软件 实验基本理论和方法： 1、Mathematica中常用绘图函数Plot在绘制高次函数时的方法； 2、计算圆周率?的数值积分法、泰勒级数法、蒙特卡罗法，并且利用特定的公式来计算圆周率?。 实验内容和步骤： （1）数值积分法计算? 半径为1的圆称为单位圆，它的面积等于?。只要计算出单位圆的面积，就算出了?。在坐标轴上画出以圆点为圆心，以1为半径的单位圆（如下图），则这个单位圆在第一象限的部分是一个扇形，而且面积是单位圆的1/4，于是，我们只要算出此扇形的面积，便可以计算出?。 在计算扇形面积时，很容易想到使用数学分析中积分的方法，第一象限中的扇形由曲线y?1?x2(x?[0,1])及两条坐标轴围成，实际操作中，我们不能准确地计算它的面积，于是就通过分割的方法，将其划分为许多小的梯形，通过利用梯形的面积近似于扇形面积来计算S??1?x2dx?01?4。 利用Mathematics编程计算上式，过程如下： 从而得到?的近似值为3.14159265358979323846264338328，可以看出，用这种方法计算所得到的?值是相当精确的。n越大，计算出来的扇形面积的近似值就越接近?的准确值。 （2）泰勒级数法计算? 利用反正切函数的泰勒级数 2k?1x3x5k?1x????(?1)?? arctanx?x?352k?1来计算?。 从反正切函数的泰勒级数，进行如下编程来计算?，实验运行如下： 从实验过程可以看出，这种方法花费的时间很长。原因是当x=1时得到的arctan1的展开式收敛太慢。要使泰勒级数收敛得快，容易想到，应当使x的绝对值小于1，最好1111是远比1小。例如，因为arctan1?arctan?arctan，所以我们可以计算出arctan,arctan2323的值，从而得到arctan1的值。这样，就使得收敛速度加快。改进后可以看出，泰勒级数法得到的结果比数值分析法精确到小数点后更多位。 （3）蒙特卡罗法计算? 在数值分析法中，我们利用求单位圆的1/4面积来得到?/4，从而得到?。单位圆的1/4是一个扇形，它是边长为1的单位正方形的一部分，单位正方形的面积S1?1。只要能够求出扇形的面积S在正方形的面积中所占的比例k?S/S1，就能立即得到S，从而得到?的值。下面的问题归结为如何求k的值，这就用到了一种利用随机数来解决此种问题的蒙特卡罗法，其原理就是在正方形中随机的投入很多点，是所投的每个点落在正方形中每一个位置的机会均等，看其中有多少个点落在扇形内。降落在扇形内的点的个数m与所投店的总数n的比可以近似的作为k的近似值。利用Mathetics编程如下： 从运行结果来看，蒙特卡罗法的计算结果为3.136，虽然精确度不太高，但运行时间短，在很多场合下，特别是在对精确度要求不高的情况下很有用的。 （4）利用麦琴给出?4?4arctan1111?arctan，推出π=4(4arctan?arctan)。对比52395239以上方法，这种简单的直接用公式求的π的方法要简单得多，所以用处更广。 实验结果和结果分析： 虽然在实验过程中存在语句错写问题，但经过分析、改正均达到实验预期结果；并在最后给出了用公式法计算π的值，但有待于实验验证。 实验效果良好。（具体分析见实验内容与步骤） 附录：

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