第八章 实数的完备性(2)

M(x)?max(f(x),g(x)),?m(x)?min(f(x),g(x))

在[a,b]上也是可积的．

4．设f(x)在[a,b]上可积，且f(x)?r?0，求证：

(1)

1在[a,b]可积； f(x) (2) lnf(x)在[a,b]可积．

5．设f(x)在[a,b]可积，求证：任给??0，存在逐段为常数的函数?(x)，使

?ba|f(x)??(x)|dx?? . 6．设f(x)在[a,b]上有界，定义

?f[a,b]?supf(x)?inff(x),

x?[a,b]x?[a,b] 求证

?f[a,b]?sup|f(x')?f(x'')|.

x',x''?[a,b] 7．设f(x)在x0附近有定义且有界，定义

?f(x0)?lim?x0?,x0??.

n???nn? 求证：f(x)在x0连续的充分必要条件为?f(x0)?0． 8．若函数f(x)在[A,B]可积，证明：

??11?lim?|f(x?h)?f(x)|dx?0,

h?0ab 其中A?a?b?B (这一性质称为积分的连续性)．

9．f(x)?0,?f''(x)?0,对任意省仨x?[a,b]成立，求证：

f(x)?2bf(x)dx. ?ab?a 10．设f(x)在[a,b]有连续的导函数，求证：

b1bmax|f(x)|?|f(x)dx|??|f'(x)|dx.

aa?x?bb?a?a 11．设f(x)在[a,b]可积，求证；存在连续函数序列?n(x),??n?1,2,?，使

lim??n(x)dx??f(x)dx.

n??aabb 12．设f(x)在[a,b]黎曼可积，求证： (1) 存在区间序列{[a,b]}使

[an?1,bn?1]?(an,bn)?(a,b),

且?f([an,bn])?1； n (2) 存在c??[a,b]，使得f(x)在c点连续；

nnn?1? (3) f(x)在[a,b]上有无穷多个连续点．

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