2012年四川高考试题(理数,word解析版)(2)

第二部分 （非选择题 共90分）

注意事项：

（1）必须使用0.5毫米黑色签字笔在答题卡上题目所指示的答题区域内作答，作图题可先用铅笔绘出，确认后再用0.5毫米黑色签字笔描清楚。答在试题卷上无效。 （2）本部分共10个小题，共90分。

二、填空题（本大题共4个小题，每小题4分，共16分。把答案填在答题纸的相应位置上。） 13、设全集U?{a,b,c,d}，集合A?{a,b}，B?{b,c,d}，则 （CUA）?（CUB）?_______。[答案]{a, c, d}

[解析]∵（CUA）?{c,d} ；（CUB）?{a} ∴（CUA）?（CUB）?{a,c，d} [点评]本题难度较低，只要稍加注意就不会出现错误.

M、N分别是CD、CC1的14、如图，在正方体ABCD?A1BC11D1中，

中点，则异面直线A1M与DN所成角的大小是____________。 [答案]90o

[解析]方法一：连接D1M,易得DN⊥A1D1 ,DN⊥D1M, 所以，DN⊥平面A1MD1，

又A1M?平面A1MD1，所以，DN⊥A1D1，故夹角为90o

方法二：以D为原点，分别以DA, DC, DD1为x, y, z轴，建立空间直角

坐标系D—xyz.设正方体边长为2，则D（0,0,0），N（0,2,1），M（0,1,0）A1（2,0,2） 故，DN? （0,2,1），MA1?（2，?1,2）ADMBA1D1B1NCC1MA1??所以，cos

|DN||MA1|[点评]异面直线夹角问题通常可以采用两种途径: 第一，把两条异面直线平移到同一平面中借助三角形处理； 第二，建立空间直角坐标系，利用向量夹角公式解决.

x2y2??1的左焦点为F，直线x?m与椭圆相交于点A、B，当?FAB的周长 15、椭圆43最大时，?FAB的面积是____________。

2[答案]

3[解析]根据椭圆定义知：4a=12, 得a=3 , 又?a?c?5

22?c?2,?e?c2? a3[点评]本题考查对椭圆概念的掌握程度.突出展现高考前的复习要回归课本的新课标理念. 16、记[x]为不超过实数x的最大整数，例如，[2]?2，[1.5]?1，[?0.3]??1。设a为正整

xn?[数，数列{xn}满足x1?a，xn?1?[a]xn2](n?N?)，现有下列命题：

①当a?5时，数列{xn}的前3项依次为5,3,2；

②对数列{xn}都存在正整数k，当n?k时总有xn?xk； ③当n?1时，xn?a?1；

④对某个正整数k，若xk?1?xk，则xn?[a]。

其中的真命题有____________。（写出所有真命题的编号） [答案]①③④（lby lfx）

xn?[[解析]若a?5，根据xn?1?[当n=1时，x2=[

a]xn2](n?N?)

5?13?1]?2, 故①]=3, 同理x3=[对.

22对于②③④可以采用特殊值列举法：

当a=1时，x1=1, x2=1, x3=1, ……xn=1, …… 此时②③④均对. 当a=2时，x1=2, x2=1, x3=1, ……xn=1, …… 此时②③④均对 当a=3时，x1=3, x2=2, x3=1, x4=2……xn=1, ……此时③④均对 综上，真命题有 ①③④ .

[点评]此题难度较大，不容易寻找其解题的切入点，特殊值列举是很有效的解决办法.

三、解答题（本大题共6个小题，共74分。解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤。）

17、(本小题满分12分)

某居民小区有两个相互独立的安全防范系统（简称系统）A和B，系统A和B在任意时

刻发生故障的概率分别为

1和p。 1049，求p的值； 50（Ⅰ）若在任意时刻至少有一个系统不发生故障的概率为

（Ⅱ）设系统A在3次相互独立的检测中不发生故障的次数为随机变量?，求?的概率分布列及数学期望E?。

[解析]（1）设：“至少有一个系统不发生故障”为事件C，那么

1491P= ，解得P=………………………………4 分 105051013）?（2）由题意，P（?=0）=C（ 3101000127112）（1?）?P（?=1）=C（ 3101010001224321）（1?）?P（?=2）=C（ 31010100013729310）（1?）?P（?=3）=C（ 3101010001-P（C）=1-所以，随机变量?的概率分布列为：

? P 0 1 10001 27 10002 243 10003 729 1000

故随机变量X的数学期望为： E?=00?12724372927?1??2??3?? ……………………12分. 100010001000100010[点评]本小题主要考查相互独立事件，独立重复试验、互斥事件、随机变量的分布列、数学期望等概念及相关计算，考查运用概率知识与方法解决实际问题的能力. 18、(本小题满分12分)

函数f(x)?6cos2?x2?3cos?x?3(??0)在一个周期内的图象如图所示，A为图象

的最高点，B、C为图象与x轴的交点，且?ABC为正三角形。 （Ⅰ）求?的值及函数f(x)的值域；

10283，且x0?(?,)，求f(x0?1)的值。

3352?x?3cos?x?3(??0) [解析]（Ⅰ）由已知可得：f(x)?6cos2? =3cosωx+3sin?x?23sin(?x?)

3（Ⅱ）若f(x0)?又由于正三角形ABC的高为23，则BC=4 所以，函数f(x)的周期T?4?2?8，即2???8，得???4

所以，函数f(x)的值域为[?23,23]。……………………6分 （Ⅱ）因为f(x0)?83，由（Ⅰ）有 54?f(x0)?23sin(由x0?（??x0?3)??x?483(0?)? 即sin，4355?x102???，），得(0?)?(?,) 334322所以，即cos(?x04故f(x0?1)?2?2

?2?43?)?1?()2? 355?x???x??3sin(0??)?23sin[(0?)?]

443434?x??x???3[sin(0?)cos?cos(0?)sin434434

42323(???)5252 ?76 ………………………………………………………12分 5[点评]本题主要考查三角函数的图像与性质同三角函数的关系、两角和的正（余）弦公式、二倍角公式等基础知识，考查运算能力，考查树形结合、转化等数学思想. 19、(本小题满分12分)

?如图，在三棱锥P?ABC中，?APB?90，

PC?PAB?60?，AB?BC?CA，平面PAB?平面ABC。 （Ⅰ）求直线PC与平面ABC所成角的大小； （Ⅱ）求二面角B?AP?C的大小。

AB[解析]（1）连接OC。由已知，?OCP为直线PC与平面ABC所成的角 设AB的中点为D，连接PD、CD. 因为AB=BC=CA,所以CD?AB.

因为?APB?90?，?PAB?60?，所以?PAD为等边三角形， 不妨设PA=2，则OD=1，OP=3,AB=4.

所以CD=23，OC=OD2?CD2?1?12?13. 在Rt?OCP中，tan?OPC?OP339. ??OC131339…………………6分 13故直线PC与平面ABC所成的角的大小为arctan（2）过D作DE?AP于E，连接CE. 由已知可得，CD?平面PAB. 根据三垂线定理可知，CE⊥PA，

所以，?CED为二面角B—AP—C的平面角. 由（1）知，DE=3 在Rt△CDE中，tan?CED?CD?2 DE故二面角B—AP—C的大小为arctan2……………………………12分

[点评]本小题主要考查线面关系、直线与平面所成的角、二面角等基础知识，考查思维能力、空间想象能力，并考查应用向量知识解决数学问题的能力.

20、(本小题满分12分) 已知数列{an}的前n项和为Sn，且a2an?S2?Sn对一切正整数n都成立。

（Ⅰ）求a1，a2的值；

（Ⅱ）设a1?0，数列{lg值。

10a1}的前n项和为Tn，当n为何值时，Tn最大？并求出Tn的最大an[解析]取n=1,得a2a1?s2?s1?2a1?a2, ① 取n=2,得a2?2a1?2a2, ② 又②-①，得 a2(a2?a1)?a2 ③ （1）若a2=0, 由①知a1=0,

(2)若a2?0，易知a2?a1?1, ④ 由①④得：a1?22?1,a2?2?2;a1?1?2,a2?2?2;…………………5分

2?1,a2?2?2;

（2）当a1>0时,由（I）知，a1?当n?2时，有（2?2）an?s2?sn , (2+2)an-1=S2+Sn-1 所以，an=2an?1(n?2)

所以an?a1(2)n?1?(2?1)?(2)n?1 令bn?lg10a11100,则bn?1?lg(2)n?1?lgn?1 an221lg2为公差，且单调递减的等差数列. 210?lg1?0 则 b1>b2>b3>…>b7=lg811001?lg1?0 当n≥8时，bn≤b8=lg21282所以，数列{bn}是以?所以，n=7时，Tn取得最大值，且Tn的最大值为 T7=

（7b1?b7）21?7?lg2…………………………12分 22[点评]本小题主要从三个层面对考生进行了考查. 第一，知识层面：考查等差数列、等比数列、对数等基础知识；第二，能力层面：考查思维、运算、分析问题和解决问题的能力；第三，数学思想：考查方程、分类与整合、化归与转化等数学思想. 21、(本小题满分12分) 如图，动点M到两定点A(?1,0)、

?MAB，设动点M的轨B(2,0)构成?MAB，且?MBA?2迹为C。

（Ⅰ）求轨迹C的方程；

（Ⅱ）设直线y??2x?m与y轴交于点P，与轨迹C相交于点Q、R，且|PQ|?|PR|，求

yMAO|PR|的取值范围。 |PQ|Bx[解析]（1）设M的坐标为（x,y），显然有x>0,y?0. 当∠MBA=90°时，点M的坐标为（2，, ±3）

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