高等数学在经济学中的应用(2)

求生产水平为q?20（万件）时的平均成本和边际成本，并从降低成本角度看，继续提高产量是否合算？

解 当q?20时的总成本为q?20(万元)，

C(20)?100?4?20?0.2?202?0.01?203?180,

平均成本为

C(20)?180?20?9 元/件, 20边际成本为

C'(q)?4?0.4?20?0.01?3?20^2?8 元/件.

因此在生产水平为20万件时，每增加一个产品，总成本增加8元，比当前的平均成本9元低，从降低成本角度看，应该继续提高产量。

2.1.2边际收入

与边际成本类似，边际收入定义为R'(q)，即边际收入是总收入函数R(q)关于销售量q的导数，其经济含义是：当销售量为q时，再销售一个单位（即?q?1）所增加的总收入?R(q)。所以边际收入约等于收入函数的变化率。其几何意义为：每一销售水平上的边际收益值就是相应的总收益曲线在该点处切线的斜率，即总收益曲线关于该销售量的导数值。

2.2 最优化问题

2.2.1 收益最大化与利润最大化问题

总收益TR是产量Q与价格P的乘积, 即TR?P?Q, 总利润为总收益TR与总成本TC的差值, 即?=TR-TC。若价格P随Q的变化而改变, 则Q最大时总收益TR和总利润?不一定取到最大值, 并且收益最大时的产量不一定能产生最大的利润, 下面, 运用导数对收益进行优化分析。

例3设垄断厂商的需求函数为P?12?0.4Q,总成本函数TC?0.6Q2?4Q?5, 求

(1)Q为多少时使总收益最大, 与此相应的价格, 总收益及总利润各为多少?

(2)Q为多少时总利润最大, 价格, 总收益及总利润为多少?

4

解(1) 已知厂商的产品的需求函数为P?12?0.4Q。总收益最大, 即要求解TR?P?Q?12Q?0.4Q2最大。

dTR?12?0.8Q?0，得Q?15。故Q= 15时，TRdQ最大。把Q=15代入P?12?0.4Q，得P?12?0.4Q?6。此时，

总收益TR?P?Q?90， 总利润??TR?TC??110.

(2)已知

TR?12Q?0.4Q2，TC?0.6Q2?4Q?5，??TR?TC??Q2?8Q?5. 总利润最大时，

d???2Q?8?0，即Q?4。把Q?4代入P?12?0.4Q，得 dQP?10.4，

总收益TR?P?Q?10.4?4?41.6，

总利润??TR?TC?11.

例4已知某消费者每年用于商品1和商品2的收入为540元，两种商品的价

2格分别为P1?20元和P2?20元，该消费者的效用函数为U?3X1X2,该消费者每

年购买这两种商品的数量应各是多少？每年从中获得效用最大，其值是多少？

解 假设这两种商品的消费量分别为X1、X2，由消费者的消费收入可以得到

2P即20Q1?30Q2?540是约束函数，求U?3X1X2得最大值。求1?X1?P2?X2?I，

此类含有约束的最值问题，可以用拉格朗日函数法对其进行求解，而且方便易懂。构造拉格朗日函数

22L(X1,X2,?)?3X1X2?I?3X1X2??(20X1?30X2?540),

对其各个变量求一阶偏导数

?L?L?L2??(20X1?30X2?540)?0. ?3X2?20??0,?6X1X2?30??0,???X1?X2解，得

X1?9,X2?12，??21.6.

2由于最值的存在性，得知此时L(X1,X2,?)取得最大值，也即U?3X1X2取得最大

值U=3888.

在此处?有一个非常重要的经济学意义，?为货币的边际效用。

5

2.2.2 费用的节省

节省费用是经济生活中觉的问题, 无论是生产者, 还是销售者, 总想以最小的资金和劳动消耗去获得最大的收益。应用导数的知识, 可以使我们能够在条件允许的范围内做到费用最省。

例5 某商店每年销售某种a件, 每次购进的手续费为b元, 而每件的库存费为c元/年, 在该商品均匀销售情况下, 商店应分几批购进此商品才能使所花费的手续费及库存费之和为最小?

a解 在均匀销售情况下, 商品库存量仅需年销售量的一半, 即件, 设总费

2a用为y, 共分x批购进此种商品, 手续费为bx, 每批购买的件数为,库存费为

xac,则总费用 2xacdydacacy?bx??(bx?)?b?2. ，

2xdxdx2x2x令

ac2bdy（负值舍去），又 ?0，即b?2?0。求得x?2xacdxd2ydacac?(b?)??0, 223dxdx2xx故所求值为极小值。所以应分

2b批进货才能使所花费的手续及库存费之和为ac最小。

以上列举事例只是经济生活中最优化问题的简单代表,类似问题在生活中不胜枚举。对企业经营者来说,对其经济环节进行定量分析是非常必要的, 将数学( 本文主要介绍导数)作为分析工具, 可以给企业经营者提供客观、精确的数据, 从而为企业经营者科学决策提供量化依据。

2.3 弹性问题 2.3.1 弹性分析

在经济分析中，会经常用到弹性分析法，弹性是一个十分有用的概念。一般地说，弹性描述的是因变量对自变量的变化的反应程度，具体的说，也就是要计算自变量变化1个百分比，因变量要变化几个百分比，即用弹性系数来表示

弹性系数?因变量变动的百分比.

自变量变动的百分比对函数y?f(x)，当自变量从x起改变了?x时，其自变量的相对改变量是函数f(x)相对应的相对改变量则是

?x，x?y。函数的弹性就是为考察相对变化而引入y6

的，即f(x)在点x的弹性为

f(x)的相对变化y?yx?f(x)x?????, ?xx的相对变化?xy?yf(x)x?yE?其中E为弹性符号，

?y?x、可以理解为x、y变动的百分比。因此，弹性可以xy理解为函数变动的百分比与自变量变动的百分比之比。一切函数只要有意义，都

可以以此定义弹性概念，以反映因变量变动对于自变量变动的反应程度。

以需求价格弹性为例介绍，其他的类似可得。设某一商品的需求函数为

x?f(p),p为该商品的单价,x为需求量。需求量对于单价的弹性为

ED(p)?ppf'(p)f'(p)?，需求函数往往是一个减函数，即f'(p)?0，由此可xf(p)以看出需求量的变化与价格的变化是反方向的。

p例6 某商品的需求函数为x?10?. 求: (1) ED(p)；(2)计算ED(4)，并

2解释所得结果。

p1解 (1) 令x?f(p)?10?，f'(p)??，所求的需求对价格弹性为

22Ed?pp. f?(p)?f(p)p?20 (2)

41?? 4?204其含义为当商品的售价为4元时，若单价每增加1元，则需求量将减少25%，反之若单价每降低1元，则销售量将提高25%。

Ed(4)?2.3.2需求弹性与总收益的关系

在市场经济中,企业最关心的是商品涨价??p?0?或降价??p?0?对总收益的影响程度.现在我们利用需求的价格弹性对其进行具体的分析。

设需求函数为Q?Q?p?,则总收益函数(市场销售总额)为R?pQ?p?Q?p?,故边际总收益

?p?R??pQ??p??Q?p??Q?p??1?Q??p???Q?p???1??Q?. ?Q?p???7

这样,由微分的应用知,当商品价格p有微小变化(?p比较小)时,商品销售收益(市场销售总额)的改变量为

?R?dR?R???p??1??Q??Q?p???p.

在现实生活中,绝大多数商品的需求函数是单调减函数(价格上升时需求量减少,价格下降时需求量增加),因而有Q??p??0,从而需求的价格弹性?Q?0,所以,上式又可写作

?R?dR?1??Q?Q?p???p.

??这样,在文献[4]提到的，根根需求的价格弹性?Q的大小,我们可作如下需求弹性对总收益的影响分析

(1) 当商品的需求的价格弹性?Q?1时,商品涨价??p?0?,将使商品销售的总收益减少??R?0?; 商品降价??p?0?,将使商品销售的总收益增加??R?0?.

(2)当商品的需求的价格弹性?Q?1时,商品涨价??p?0?,将使商品销售的总收益增加??R?0?;商品降价??p?0?,将使商品销售的总收益减少??R?0?.

(3)当商品的需求的价格弹性?Q?1时,商品价格的变动对商品销售总收益基本没有影响。

例7 已知某集团公司生产经营的某品牌电器的需求弹性?Q在1.5~3.5之间,如果该公司计划在下一年度内将价格降低10%,问这种电器的销售量的增长率将会增加多少? 总收益将会增长多少?

解 由需求弹性?Q?Q??pdQpdQdp??知: ??Q?,从而有 QdpQQp?QdQdp?p. ???Q???Q?QQpp再由?R?dR?1??Q?Q?p???p和R?pQ?p?Q?p?，得

?RdR1??Q?Q?p???p?p???1??Q?. RRp?Q?p?p??????因而,当?Q?1.5时,

?R?Q??1?1.5????0.1??5%. ??1.5???0.1??15%, RQ8

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