湖南省衡阳市第八中学2017届高三上学期第三次(10月)月考数学(理)(2)

（）1Q{bn}为等差数列，设公差为d,b1=1,S5=15,S5=5+10d=15,d=1

\\bn=1+(n-1)?1n。

设从第三行起，每行的公比都是q，且q>0，

a9=b4q2,4q2=16,q=2,1+2+3+K+9=45,

故a50=b10q4=10?24160.

n(n+1), 2（2）QSn=1+2+3+K+n=\\Tn=1Sn+1+1Sn+2+K+1 S2n=

2222n++K+=(n+1)(n+2)(n+2)(n+3)2n(2n+1)(n+1)(2n+1)。

a7 a8 a9 a10

?

R,b22．（本小题满分12分）已知二次函数r(x)=x2+ax+b(a,b为常数，a挝零点是-a，函数g(x)=lnx,e是自然对数的底数，设函数f(x)=r(x)-g(x). （1）过坐标原点O作曲线y=f(x)的切线，证明切点的横坐标为1； （2）令F(x)=

2解：（1）Q-a是二次函数r(x)=x+ax+b的一个零点，\\b=0。

R)的一个

f(x),若函数F(x)在区间（0,1〕上是单调函数，求a的取值范围。 ex\\f(x)=x2+ax-lnx, \\f'(x)=2x+a-1(x>0). xx02+ax0-lnx01设切点为P(x0,y0),则切线的斜率k=2x0+a-。 =x0x0整理得x0+lnx0-1=0.显然，x0=1是这个方程的解。 上是增函数， Qy=x2+lnx-1在（0，+?）则方程x+lnx-1=0有唯一实数解，故x0=1.

22f(x)x2+ax-lnxF(x)==,则

exexF'(x)=-x2+(2-a)x+a-ex21+lnxx，

1+lnx, x设h(x)=-x+(2-a)x+a-则h(x)=-2x+'11++2-a. 2xx易知h'(x)在(0,1]上是减函数，从而h'(x)?h'(1)2-a。

①当2-a?0,即a￡2时，h'(x)30,h(x)在区间[0,1]上是增函数。

Qh(1)=0,\\h(x)?0在(0,1]上恒成立，即F'(x)￡0在(0,1]上恒成立。 \\F(x)在区间(0,1]上是减函数。则a￡2满足题意。

'②当2-a<0，即a>2时，设函数h(x)的唯一零点为x0，

则h(x)在(0,x0)上递增，在（x0,1]上递减。

Qh(1)=0,\\h(x0)>0.Qh(e-a)=-e-2a+(2-a)e-a+a-ea+lne-a<0,

\\h(x)在(0,1)内有唯一 一个零点x'，

''当x?(0,x)时，h(x)<0,当x?(x,1]递增，与在区间(0,1]上是单调函数矛盾。

\\a>2不合题意。

综合①②得，a￡2.即a的取值范围是(-?,2]。

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