2017年普通高等学校招生全国统一考试全国卷2
理科数学参考答案
一、选择题：
1. D 7. D
2. C 8. B
3. B 9. A
4. B
5. A
6. D
10. C 11. A 12. B
二、填空题：
13. 1.96 三、解答题： 17.（12分）解：
2（1）由题设及A?B?C??得sinB?8sin 14. 1 15.
2n n?116. 6
B，故 2sinB?（41?cosB）
上式两边平方，整理得 17cos2B?32cosB?15?0 解得 cosB=1（舍去），cosB=（2）由cosB=15 1715814得sinB?，故S?ABC?acsinB?ac 171721717又S?ABC=2，则ac?
2由余弦定理及a?c?6得
b2?a2?c2?2accosB?(a?c)2?2ac(1?cosB)
?36?2?所以b?2 18.（12分） 解：
（1）记B表示事件“旧养殖法的箱产量低于50kg”， C表示事件“新养殖法的箱产量不低于50kg”.
由题意知P(A)?P(BC)?P(B)P(C) 旧养殖法的箱产量低于50kg的频率为
1715?(1?)?4 217(0.012?0.014?0.024?0.034?0.040)?5?0.62，
故P(B)的估计值为0.62
新养殖法的箱产量不低于50kg的频率为
(0.068?0.046?0.010?0.008)?5?0.66，
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故P(C)的估计值为0.66
因此，事件A的概率估计值为0.62?0.66?0.4092 （2）根据箱产量的频率分布直方图得列联表
旧养殖法 新养殖法 箱产量?50kg 箱产量?50kg 62 34 38 66 200?(62?66?34?38)2K??15.705
100?100?96?1042由于15.705?6.635，故有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关。 （3）因为新养殖法的箱产量频率分布直方图中，箱产量低于50kg的直方图面积为
(0.004?0.020?0.044)?5?0.34?0.5，
箱产量低于55kg的直方图面积为
(0.004?0.020?0.044?0.068)?5?0.68?0.5，
故新养殖法箱产量的中位数的估计值为
50?19.（12分） 解：
0.5?0.34?52.35(kg)
0.068（1）取PA的中点F，连接EF,BF，
因为E是PD的中点， 所以EF//AD，EF?1AD 2由?BAD??ABC?90 得BC//AD， 又BC?1AD， 2所以EF//BC，
四边形BCEF是平行四边形，CE//BF， 又BF?平面PAB，CE?平面PAB， 故CE//平面PAB
（2）由已知得BA?AD，以A为坐标原点，AB的方向为x轴正方向，|AB|为单位长，建立如图所示
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的空间直角坐标系A?xyz，则
A(0,0,0),B(1,0,0),C(1,1,0),P(0,1,3)， PC?(1,0,?3),AB?(1,0,0)
设M(x,y,z)(0?x?1)，则
BM?(x?1,y,z),PM?(x,y?1,z?3)
因为BM与底面ABCD所成的角为45，而
n?(0,0,1)是底面ABCD的法向量，
所以|cos?BM,n?|?sin45,|z|(x?1)2?y2?z2
?2， 2①
即(x?1)2?y2?z2?0
又M在棱PC上，设PM??PC，则
x??,y?1,z?3?3?
②
??22x?1?,x?1?,??22????由①，②解得?y?1,（舍去），?y?1,
??6?z???z?6??22??所以M(1?2626,1,)，从而AM(1?,1,) 2222设m?(x0,y0,z0)是平面ABM的法向量，则
???(2?2)x0?2y0?6z0)?0,?mAM?0, 即? ?x?0,???0?mAB?0,所以可取m?(0,?6,2)， 于是cos?m,n??mn10 ?|m||n|510 5第 8 页 共 21 页
因此二面角M?AB?D的余弦值为20. （12分）
解：
（1）设P(x,y)，M(x0,y0)，
则N(x0,0),NP?(x?x0,y),NM?(0,y0) 由NP?2NM得
x0?x,y0?2y 2x2y2因为M(x0,y0)在C上，所以??1
22因此点P的轨迹方程为x2?y2?2 （2）由题意知F(?1,0)
设Q(?3,t),P(m,n)，则
OQ?(?3,t),PF?(?1?m,?n),OQPF?3?3m?tn， OP?(m,n),PQ?(?3?m,t?n)
由OQPQ?1得?3m?m?tn?n?1 又由（1）知m?n?2，故
22223?3m?tn?0
所以OQPF?0，即OQ?PF. 又过点P存在唯一直线垂直于OQ，
所以过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F. 21.（12分） 解：
（1）f(x)的定义域为(0,??)
设g(x)?ax?a?lnx，则f(x)?xg(x),f(x)?0等价于g(x)?0 因为g(1)?0,g(x)?0， 故g?(1)?0， 而g?(x)?a?1,g?(1)?a?1， x第 9 页 共 21 页
得a?1
若a?1，则g?(x)?1?1 x当0?x?1时，g?(x)?0,g(x)单调递减； 当x?1时，g?(x)?0,g(x)单调递增
所以x?1是g(x)的极小值点，故g(x)?g(1)?0 综上，a?1
（2）由（1）知f(x)?x2?x?xlnx,f?(x)?2x?2?lnx
设h(x)?2x?2?lnx，则h?(x)?2?1 x当x?(0,)时，h?(x)?0；当x?(,??)时，h?(x)?0.
12121122111?2又h(e)?0,h()?0,h(1)?0，所以h(x)在(0,)有唯一零点x0，在[,??)有唯一零点1，且
222所以h(x)在(0,)单调递减，在(,??)单调递增.
当x?(0,x0)时，h(x)?0；当x?(x0,1)时，h(x)?0；当x?(1,??)时，h(x)?0. 因为f?(x)?h(x)，所以x?x0是f(x)的唯一极大值点. 由f?(x0)?0得lnx0?2(x0?1)，故f(x0)?x0(1?x0). 由x0?(0,1)得f(x0)?1. 4?1?1因为x?x0是f(x)在(0,1)的最大值点，由e?(0,1),f?(e)?0得
f(x0)?f(e?1)?e?2.
所以e?2?f(x0)?2?2 （二）选考题： 22.解：
（1）设P的极坐标为(?,?)(??0)，M的极坐标为(?1,?)(?1?0).
由题设知|OP|??,|OM|??1?4 cos?由|OM||OP|?16得C2的极坐标方程??4cos?(??0) 因此C2的直角坐标方程为(x?2)?y?4(x?0)
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