1的渐近线方程为y＝±3x. 答案 D
x2y2
12.(20162太原二模)已知F1，F2分别是双曲线2－2＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，过F1的
ab直线l与双曲线的左右两支分别交于点A，B，若|AB|＝|AF2|，∠F1AF2＝90°，则双曲线的离心率为( ) A.
6＋3
25＋22
2
B.6＋3
C. D.5＋22
解析 ∵|AB|＝|AF2|，∠F1AF2＝90°，∴|BF2|＝2|AF2|.又由双曲线的定义知|BF1|－|BF2|＝2a，
∴|AF1|＋|AB|－2|AF2|＝2a，即|AF1|＋(1－2)2|AF2|＝2a.又|AF2|－|AF1|＝2a，∴|AF2|＝2(2＋2)a，
|AF1|＝2(1＋2)a.在Rt△AF1F2中，|AF1|＋|AF2|＝|F1F2|，即[2(2＋2)a]＋[2(1＋
2
2
2
2
c2
2)a]＝(2c)，∴2＝9＋62，∴e＝9＋62＝6＋3.故选B.
a2
2
答案 B
x2y2
13.(20142浙江卷)设直线x－3y＋m＝0(m≠0)与双曲线2－2＝1(a＞0，b＞0)的两条渐近
ab线分别交于点A，B.若点P(m，0)满足|PA|＝|PB|，则该双曲线的离心率是________.
x－3y＋m＝0，???am，bm?，
解析 由?b得点A的坐标为?3b－a3b－a???y＝x，?a?
x－3y＋m＝0，???－am，bm?， 由?得点B的坐标为?3b＋a3b＋a?b??y＝－x，?a?
2
a2m3bm??则AB的中点C的坐标为?22，22?， ?9b－a9b－a?
1
而kAB＝，由|PA|＝|PB|，可得AB的中点C与点P连线的斜率为－3，即kCP＝2＝3am22－m9b－a3bm229b－a2
?b?1
－3，化简得??＝，
?a?4
2
6
所以双曲线的离心率e＝答案
5 2
?b?1＋??＝?a?
2
151＋＝. 42
x2y2
14.(20162兰州诊断)已知曲线C：2－2＝1(a＞0，b＞0)的一条渐近线的方程为y＝3x，
aba23
右焦点F到直线x＝的距离为.
c2
(1)求双曲线C的方程；
(2)斜率为1且在y轴上的截距大于0的直线l与双曲线C相交于B、D两点，已知A(1，→→
0)，若DF2BF＝1，证明：过A、B、D三点的圆与x轴相切.
ba23
(1)解 依题意有＝3，c－＝，
ac2
∵a＋b＝c，∴c＝2a，∴a＝1，c＝2，∴b＝3， ∴双曲线C的方程为x－＝1.
3
(2)证明 设直线l的方程为y＝x＋m(m＞0)，
2
2
2
2
2
y2
B(x1，x1＋m)，D(x2，x2＋m)，BD的中点为M， y＝x＋m，??22由?2y2得2x－2mx－m－3＝0，
x－＝1?3?
∴x1＋x2＝m，x1x2＝－
m2＋3
2
，
→→
又DF2BF＝1，即(2－x1)(2－x2)＋(x1＋m)(x2＋m)＝1， ∴m＝0(舍)或m＝2，
7x1＋x2
∴x1＋x2＝2，x1x2＝－，M点的横坐标为＝1，
22
→→
∵DA2BA＝(1－x1)(1－x2)＋(x1＋2)(x2＋2)＝5＋2x1x2＋x1＋x2＝5－7＋2＝0， ∴AD⊥AB，∴过A、B、D三点的圆以点M为圆心，BD为直径， ∵点M的横坐标为1，∴MA⊥ x轴. ∴过A、B、D三点的圆与x轴相切.
7
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