随机过程试题08

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效 …师…教… … … 无 … … … … 上…题 … …… … … 答 …院… …学… … 内 … … … … … 以 … 名…… 姓…… 线 … … … … … 封 … … … … … 密 …号… 学……………… 电子科技大学研究生试卷

（考试时间： 至 ，共 小时）

课程名称 应用随机过程 学时 60 学分 3 教学方式 讲授

考核日期 2009 年 元 月 5 日 成绩

考核方式： （学生填写）

一、（12分）已知随机过程{X(t),t?[?2,2]},X(t)?U?t,U为随机变量，服从?0,??的均匀分布。试求：

（1）任意两个样本函数，并绘出草图； （2）随机过程X(t)的特征函数；

（3）随机过程X(t)的均值函数，自协方差函数。

解 （1）

（2）υ(t;u)?E[ejuX(t)]?E[eju(U?t)]=ejutE[ejuU] jπu = ejute?1jπu

（3）E(X(t))?E(U?t)?E(U)?t?t?π2；

C(s,t)?E[X(s)X(t)]?E[X(s)]E[X(t)]

?E[(U?s)(U?t)]?E[U?s]E[U?t] 2 ?E(U2)?[E(U)]2?D(U)?π12

二、（12分）设随机过程{X(t,?),???t???}只有两条样本函数

X(t,?1)?2cost，X(t,ω2)??2cost,???t???

且P(?1)?0.8，P(?2)?0.2，分别求： （1）一维分布函数F(0;x)和F(π4;x)；

（2）二维分布函数F(0,?4;x,y)。

解 1) 对任意实数t∈R,有

X(t)?2cost2costp0.20.8

2X(π4)?22特别有 X(0)?2p0.20.8 ，p0.20.8

故

?0,?F(0;x)?P{X(0)?x}??0.2?1,?x??2;?2?x?2; 2?x.?0,?ππ?F(;x)?P{X()?x}??0.2,44?1,??x??2;?2?x?2;

2?x.2）

π(X(0),X())4p(?2,?2)0.2(2,2)0.8

F(0,?π;x,y)?P{X(0)?x,X()?y}

44?0,x??2或y?2;????0.2,?2?x?2,y??2或者??1,x?2,y?2.??2?y?2,x??2;

三、（12分）设随机过程Y(t)?Xcos(?t??)，其中?为常数，随机变量X服从瑞利分布： ?x?x2?2e2?x?0?(?0 ) fX(x)???

?x?0?0?~U(0,2?)，且X与?相互独立，试求随机过程Y(t)的均值函数与自协方差函数。

σ?02π?0 C(s,t)?E[X(s)X(t)]?E[X(s)]E[X(t)]?E[X(s)X(t)]

22解 E[Y(t)]?E(X)E[cosω(t??)]?1??xe2?x222σdx?12πcosω(t?y)dy?0

?E(X)E[cosω(s??)cosω(t??)]

?1σ22?2??0??xeue3?x222σdx?12π?12π0cos(ωs?y)cos(ωt?y)dy

?4σ??u0du?4π?2π0[cosβ(t?s)?cos(β(t?s)?2θ)dθ

2?4σ?212cosβ(t?s)?2σcosβ(t?s).

四、（12分）设在[0, t)时段内乘客到达某售票处的数目为一强度是??2.5（人/分）的泊松过程，试求：

（1）在5分钟内有10位乘客到达售票处的概率；

（2）第10位乘客在5分钟内到达售票处的概率； （3）相邻两乘客到达售票处的平均时间间隔。 解 记泊松过程为{N(t),t?0} （1）p1?P{N(5)?10}?(5?2.5)10!10e?5?2.5?(12.5)10!10e?12.5

（2）设W10为第10位顾客出现的到达时间

? p2?P{W10?5}?P{N(5)?10}??k?10(12.5)k!ke?12.5,t?0

（3）设T是两位顾客到达间隔时间，因参数为λ的泊松过程{N(t), t≥0}的间隔时间序列相互独立同服从参数为λ的指数分布，故两位顾客到达的平均间隔时间E{T}=1/λ.

五、（12分）设X(t)是一宽平稳随机过程，其自相关函数为

RX(t1,t2)?e?(t1?t22)2

若Y(t)?2X(t)?ddtX(t)，试求Y(t1)与Y(t2)的自相关函数。

?(?2 解 记 RX(t1,t2)?RX(t1?t2)?RX(τ)?e 因 R??(τ)?[eX?(τ2)2)2 )e?(τ2)22方导数过程X?(t)为平稳过程, 有

]???[?τe?(τ2)2]??(τ24?12，即RX(τ)在τ=0 处二次可微，其均

RY(t1,t2)?E{[2X(t1)?X?(t1)]2 [X(t2)?X?(t2)]}?E[4X(t1)X(t2)]?2E[X?(t1)X(t2)]?2E[X(t1)X?(t2)]?E[X?(t1)X?(t2)]} ?4RX(τ)?2[RX?X(τ)]?2[RXX?(τ)]?RX?X?(τ)

?4RX(τ)?2[R?(τ)]?2[R?(τ)]?R??(τ)?4RX(τ)?R??(τ)

4224六、（12分）设X(1), X(2),…是一个独立同分布的随机变量序列，其分布律为

?[4?τ2?1]e?(τ2)2?[9?τ2]e?(τ2)2

X(n)pi?10.310.7n n?1 令Y(n)??X(k) (n?1)

k?1试求下列概率：

（1）P{X(1)?0, Y(2)?0, Y(3)?0, Y(4)?0} （2）P{Y(1)?0, Y(2)?0, Y(3)?0, Y(4)?0}

解 因X(1), X(2),…是独立同分布的随机变量序列, 所以和过程Y(n), (n?1)是平稳独立增量过程，从而是齐次马氏链。

又因Y(n)?Y(n?1)?X(n),且Y(n?1)和X(n)相互独立，故对n=1，2，3，…

pij?P{Y(n)?jY(n?1)?i}?P{Y(n?1)?X(n)?jY(n?1)?i} ?P{Y(n?1)?X(n)?jY(n?1)?i}?P{X(n)?j?iY(n?1)?i}

?0.3,j?i?1;??P{X(n)?j?i}??0.7,j?i?1;

??0,其他P{X(1)?0, Y(2)?0, Y(3)?0, Y(4)?0}=

P{Y(1)?0, Y(2)?0, Y(3)?0, Y(4)?0}= P{Y(1)?1, ?i2?0,2Y(2)?i2,?i3?1,3Y(3)?i3,?i4?0,2,4Y(4)?i4}=

???i2?0,2i3?1,3i4?0,2,4P{Y(1)?1, Y(2)?i2,Y(3)?i3,Y(4)?i4}

状态转移如图所示: 4 3 2 +1 1 2 0 所以

P{X(1)?0, Y(2)?0, Y(3)?0, Y(4)?0}=

0

???i2?0,2i3?1,3i4?0,2,4P{Y(1)?1}p1ipi22i3pi3i4=0.72?1.3?0.637

P{Y(1)?0, Y(2)?0, Y(3)?0, Y(4)?0}?P{Y(1)?0}P{Y(2)?0|Y(1)?0}P{Y(3)?0|Y(1)?0, Y(2)?0}P{Y(4)?0|Y(1)?0, Y(2)?0, Y(3)?0}?P{Y(1)?0}P{Y(2)?0|Y(1)?0}P{Y(3)?0|Y(2)?0}P{Y(4)?0|Y(3)?0}

状态之间的转移如图所示: 4 3 2 +1 1 2 -1-2 -1 -2 -3 -4 所以

P{Y(1)?0, Y(2)?0, Y(3)?0, Y(4)?0}3333

?0.7?0.7?0.3?0.3?0.3?0.7?0.4918 七、（16分）已知齐次马氏链{X(n),n?0,1,2,?}的状态空间为E?{1,2,3}，状态转移矩阵为

???P??????131201314341??3?1? 4?1??4? （1）画出概率转移图；

(4) （2）求二步转移矩阵及转移概率p13；

（3）此链是否为遍历的，试求其平稳分布。

解 （1）

1/3 1 1/3 1/2 1/4 2 1/3 245410243824541/4 3/4 1/4 3

???2? （2）P?????131201314341????3??1??4??1????4??131201314341??15?3??541??7??4??241??3?4???81554155415?54?7?? 24?2?8??724155428因{X(n),n?0,1,2,?}齐次马氏链，有P(4)?P4?P2P2，故

(4)(2)(2)(2)(2)(2)(2) p13?p11p13?p12p23?p13p33=

?????=0.4568

（3）因对任意i，j∈E，有pijπ1?π2?π3?1和

(2)?0，P是正则阵，根据遍历性定理此马氏链是遍历的，且正

则(遍历)马氏链的极限分布是平稳分布，需求P的不动点概率向量Π?(π1,π2,π3)，即满足

????ΠP?(π1,π2,π3)????13120?131434π24?1??3?1??3??πipi14???i?11??4?3π34π13?π24?33?i?1πipi2?i?1?πipi3?

? ??1?22?3 解得 平稳分布为??π1π2?πππ13π34????π1?π2π3?

?9π3?????29212298? ?29?八、（12分）设{W(t),t?0}是参数为?的维纳过程，a为一正常数，令 t?0 X(t)?W(t?a)?W(t)试证明{X(t),t?0}是严平稳的正态过程。

证明 维纳过程是平稳独立增量，且有 X(t)=W(t+a)－W(t)～N(0, aσ2)，故

mX(t)?E[X(t)]?E[W(t?a)?W(t)]?0, RX(t,t?τ)?E[X(t)X(t?τ)]

?RW(t?a,t?a?τ)?RW(t?a,t?τ)?RW(t,t?a?τ)?RW(t,t?τ)

2?σ[min(t?a,t?a?τ)?min(t?a,t?τ)?min(t,t?a?τ)?min(t,t?τ)]

?σ{[t?a?min(0,τ)]?[t?min(a,τ)]?[t?min(0,τ?a)]?[t?min(0,τ)]

2?σ[a?2min(0,τ)?min(a,τ)?min(0,a?τ)]

22?τ?a;?σ(a?τ),??

τ?a??0,RX(t, t+τ)与 t 无关, X(t)是宽平稳过程得证。

又因{W(t),t?0}是正态过程, 下面证明{X(t),t?0}也是正态过程.

对?0?t1?t2???tn,n是任意的正整数. 把t1,t2,?,tn和t1?a,t2?a,?,tn?a重新按从小到从的顺序列如下:

0?t'1?t'2???t'2n?1?t'2n,

考虑随机向量

[W(t'1),W(t'2)?W(t'1),?,W(t'2n?1)?W(t'2n?2),W(t'2n)?W(t'2n?1)]

T因为维纳过程{W(t),t?0}是平稳独立增量的正态过程, 则上述随机向量是由2n个相互独立的正态随机变量(可以是退化的)所构成的随机向量. 从而它是2n维的正态随机向量(可以是退化的).

对任意的ti, 一定存在m和k, 使得ti?t'm?t'm?k?ti?a

从而有

X(ti)?W(ti?a)?W(ti)?W(t'm?k)?W(t'm)k??W(t's?1m?s)?W(t'm?(s?1))TT

所以[X(t1),X(t2),?,X(tn?1),X(tn)]表示成了一个2n维的正态随机向量的线性变换 从而[X(t1),X(t2),?,X(tn?1),X(tn)]是n维的正态随机向量(可以是退化的). 所以{X(t),t?0}也是正态过程(可以是退化的).

因为当{X(t),t?0}是正态过程时, 严平稳与宽平稳是等价的. 所以{X(t),t?0}是严平稳过程.

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