初中数学竞赛教程及练习之三点共线附答案

三点共线

1.一、内容提要

要证明A，B，C三点在同一直线上，常用方法有：

①连结AB，BC证明∠ABC是平角

②连结AB，AC证明AB，AC重合

③连结AB，BC，AC证明 AB＋BC＝AC ④连结并延长AB证明延长线经过点C 证明三点共线常用的定理有：

过直线外一点有且只有一条直线和已知直线平行经过一点有且只有一条直线和已知直线垂直

三角形中位线平行于第三边并且等于第三边的一半梯形中位线平行于两底并且等于两底和的一半两圆相切，切点在连心线上

轴对称图形中，若对应线段（或延长线）相交，则交点在对称轴上

二、例题

例1.已知：梯形ABCD中，AB∥CD，点P是形内的任一点，PM⊥AB，PN⊥CD

求证：M，N，P三点在同一直线上CDN证明：过点P作EF∥AB，4∵AB∥CD，∴EF∥CDFEP32.①②③④⑤⑥1∠1＋∠2＝180，∠3＋∠4＝180 A M 2 B ??∵PM⊥AB，PN⊥CD ∴∠1＝90，∠3＝90 ∴∠1＋∠3＝180

???∴ M，N，P三点在同一直线上

例2.求证：平行四边形一组对边的中点和两条对角线的交点，三点在同一直线上

已知：平行四边形ABCD中，M，N分别是AD和BC的中点，O是AC和BD的交点求证：M，O，N三点在同一直线上

DC证明一：连结MO，NO

O∵MO，NO分别是△DAB和△CAB的中位线MN∴MO∥AB，NO∥AB

B根据过直线外一点有且只有一条直线和已知直线平行A∴ M，O，N三点在同一直线上

，

证明二：连结MO并延长交BC于N

∵MO是△DAB的中位线 D C ∴MO∥AB

O,M在△CAB中 N N

，

∵AO＝OC，ON∥AB A B，，，

∴BN＝NC，即N是BC的中点 ∵N也是BC的中点，

，

∴点N和点N重合 ∴ M，O，N三点在同一直线上

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