（1）求点P，C的坐标；
（2）直线l上是否存在点Q，使△PBQ的面积等于△PAC的面积的2倍？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
【考点】H3：二次函数的性质；HA：抛物线与x轴的交点． 【专题】535：二次函数图象及其性质．
【分析】（1）利用配方法求出顶点坐标，令x=0，可得y=﹣5，推出C（0，﹣5）；
5
（2）直线PC的解析式为y=3x﹣5，设直线交x轴于D，则D（，0），设直线
3
PQ交x轴于E，当BE=2AD时，△PBQ的面积等于△PAC的面积的2倍，分两种情形分别求解即可解决问题；
【解答】解：（1）∵y=﹣x2+6x﹣5=﹣（x﹣3）2+4， ∴顶点P（3，4）， 令x=0得到y=﹣5， ∴C（0．﹣5）．
（2）令y=0，x2﹣6x+5=0，解得x=1或5， ∴A（1，0），B（5，0），
设直线PC的解析式为y=kx+b，则有 ??=?5，
3??+??=4解得 ??=3，
??=?5
5
∴直线PC的解析式为y=3x﹣5，设直线交x轴于D，则D（，0），
3
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设直线PQ交x轴于E，当BE=2AD时，△PBQ的面积等于△PAC的面积的2倍，
2∵AD=，
34∴BE=，
31119
∴E（，0）或E′（，0），
33
则直线PE的解析式为y=﹣6x+22， ∴Q（，﹣5）， 2
638
直线PE′的解析式为y=﹣x+，
55
21
∴Q′（，﹣5），
2
921
综上所述，满足条件的点Q（，﹣5），Q′（，﹣5）．
22
9
【点评】本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数的性质等知识，解题的关键是熟练掌握待定系数法，学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型．
28．（10分）（2018?徐州）如图，将等腰直角三角形纸片ABC对折，折痕为CD．展平后，再将点B折叠在边AC上（不与A、C重合），折痕为EF，点B在AC上的对应点为M，设CD与EM交于点P，连接PF．已知BC=4． （1）若M为AC的中点，求CF的长； （2）随着点M在边AC上取不同的位置， ①△PFM的形状是否发生变化？请说明理由； ②求△PFM的周长的取值范围．
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【考点】KY：三角形综合题． 【专题】152：几何综合题．
【分析】（1）由折叠的性质可知，FB=FM，设CF=x，则FB=FM=4﹣x，在Rt△CFM中，根据FM2=CF2+CM2，构建方程即可解决问题；
（2）①△PFM的形状是等腰直角三角形，想办法证明△POF∽△MOC，可得∠PFO=∠MCO=45°，延长即可解决问题；
2②设FM=y，由勾股定理可知：PF=PM=y，可得△PFM的周长=（1+ 2）y，由
2
2＜y＜4，可得结论；
【解答】解：（1）∵M为AC的中点，
1
∴CM=AC=BC=2，
22
1
由折叠的性质可知，FB=FM， 设CF=x，则FB=FM=4﹣x，
在Rt△CFM中，FM2=CF2+CM2，即（4﹣x）2=x2+22， 解得，x=，即CF=； 22
（2）①△PFM的形状是等腰直角三角形，不会发生变化， 理由如下：由折叠的性质可知，∠PMF=∠B=45°， ∵CD是中垂线， ∴∠ACD=∠DCF=45°， ∵∠MPC=∠OPM， ∴△POM∽△PMC，
????????
∴=， ????????????????∴= ????????
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33
∵∠EMC=∠AEM+∠A=∠CMF+∠EMF， ∴∠AEM=∠CMF，
∵∠DPE+∠AEM=90°，∠CMF+∠MFC=90°，∠DPE=∠MPC， ∴∠DPE=∠MFC，∠MPC=∠MFC， ∵∠PCM=∠OCF=45°， ∴△MPC∽△OFC，
????????∴=， ????????????????∴=， ????????????????∴=，∵∠POF=∠MOC， ????????
∴△POF∽△MOC， ∴∠PFO=∠MCO=45°， ∴△PFM是等腰直角三角形．
②∵△PFM是等腰直角三角形，设FM=y，
2由勾股定理可知：PF=PM=y，
2
∴△PFM的周长=（1+ 2）y，
∵2＜y＜4，
∴△PFM的周长满足：2+2 2＜（1+ 2）y＜4+4 2．
【点评】本题考查三角形综合题、等腰直角三角形的性质和判定、翻折变换、相似三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，学会利用参数解决问题，属于中考常考题型．
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