辽宁省葫芦岛市2015届高三一模数学（理）试卷(6)

23．在直角坐标系xOy中，曲线M的参数方程为（θ为参数）若以该直

角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线N的极坐标方程为ρsin（θ+

）=

（其中t为常数）．

（1）若曲线N与曲线M只有一个公共点，求t的取值范围；

（2）当t=﹣2时，求曲线M上的点与曲线N上的点的最小距离．

考点：点的极坐标和直角坐标的互化；直线与圆的位置关系；参数方程化成普通方程． 专题：直线与圆．

2

分析：（1）把曲线M的参数方程化为 y=x﹣1，把曲线N的极坐标方程化为 x+y﹣t=0．曲线N与曲线M只有一个公共点，数形结合求得t的范围．

（2）当t=﹣2时，曲线N即 x+y+2=0，当直线和曲线N相切时，由（1）可得t=﹣，故本题即求直线x+y+2=0和直线x+y+=0之间的距离，利用两条平行线间的距离公式计算求得结果．

解答： 解：（1）曲线M 即 y=x﹣1，其中，x=sinθ+cosθ=把曲线N的极坐标方程为ρsin（θ+

2

（θ为参数），即 x=1+y，

sin（θ+）=

）∈[﹣

，

]．

2

（其中t为常数）

化为直角坐标方程为 x+y﹣t=0．

由曲线N（图中蓝色直线）与曲线M（图中红色曲线）只有一个 公共点，则有直线N过点A（，1）时满足要求，

并且向左下方平行运动直到过点B（﹣，1）之前总是保持 只有一个公共点，

再接着向左下方平行运动直到相切之前总是有两个公共点， 所以﹣+1＜t≤+1满足要求， 当直线和曲线M相切时，由

有唯一解，即 x+x﹣1﹣t=0 有唯一解，

2

故有△=1+4+4t=0，解得t=﹣． 综上可得，要求的t的范围为（﹣

+1，

+1]∪{﹣}．

（2）当t=﹣2时，曲线N即 x+y+2=0，当直线和曲线M相切时，由（1）可得t=﹣． 故曲线M上的点与曲线N上的点的最小距离，即直线x+y+2=0和直线x+y+=0之间的距

离，为 =．

点评：本题主要考查把参数方程、极坐标方程化为直角坐标方程的方法，直线和圆的位置关系的应用，属于中档题．

选修4-5：不等式选讲

24．已知函数f（x）=|x﹣1|+|2x+2|． （1）解不等式f（x）＞5； （2）若关于x的方程

考点：绝对值不等式的解法． 专题：不等式的解法及应用．

=a的解集为空集，求实数a的取值范围．

分析：（1）化简函数的解析式为函数f（x）=|x﹣1|+|2x+2|=，分类讨

论求得原不等式解集．

（2）由（1）中分段函数f（x）的解析式可得f（x）的单调性，由此求得函数f（x）的值域，可得

实数a的取值范围．

的取值范围．再根据关于x的方程

=a的解集为空集，求得

解答： 解：（1）函数f（x）=|x﹣1|+|2x+2|=，

当x≥1时，由3x+5＞5解得：x＞；当﹣1＜x＜1时，由x+3＞5得x＞2 （舍去）． 当x＜﹣1时，由﹣3x﹣1＞5，解得x＜﹣2． 所以原不等式解集为{x|x＜﹣2 x＞}．

（2）由（1）中分段函数f（x）的解析式可知：f（x）在区间（﹣∞，﹣1）上单调递减， 在区间（﹣1，+∞）上单调递增．

并且f（x）的最小值为f（﹣1）=2，所以函数f（x）的值域为[2，+∞）， 从而f（x）﹣4的取值范围是[﹣2，+∞），

进而的取值范围是（﹣∞，﹣]∪（0，+∞）．

=a的解集为空集，所以实数a的取值范围是（﹣，0]．

根据已知关于x的方程

点评：本题主要考查带有绝对值的函数，绝对值不等式的解法，体现了转化、分类讨论的数

学思想，属于中档题．

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