MATLAB习题答案(清华大学)(7)

xy + 1 ? 1

， ③ lim

x!0 y!0

1 ? cos ?

x2 + y2

￠ ?

x2 + y2￠

ex2+y2 。

【求解】双重极限问题可以由下面语句直接求解。>> syms x y

fa=(x^2*y+x*y^3)/(x+y)^3; limit(limit(fa,x,-1),y,2) ans = -6

>> fb=x*y/(sqrt(x*y+1)-1); limit(limit(fb,x,0),y,0) ans = 2

>> fc=(1-cos(x^2+y^2))*exp(x^2+y^2)/(x^2+y^2); limit(limit(fc,x,0),y,0) ans =

31

0

3 求出下面函数的导数。 ① y(x) = q

x sin x p 1 ? ex， ② y = 1 ? p cos ax x (1 ? cos p ax)

③ atan y x = ln(x2 + y2)， ④ y(x) = ? 1

na ln xn + a xn ; n > 0

18 第3 章微积分问题的计算机求解

【求解】由求导函数diff() 可以直接得出如下结果，其中③ 为隐函数，

32

故需要用隐函数求 导公式得出导数。 >> syms x;

f=sqrt(x*sin(x)*sqrt(1-exp(x))); simple(diff(f)) ans =

1/2/(x*sin(x)*(1-exp(x))^(1/2))^(1/2)*(sin(x)*(1-exp(x))^(1/2)+ x*cos(x)*(1-exp(x))^(1/2)-1/2*x*sin(x)/(1-exp(x))^(1/2)*exp(x)) >> syms a x

y=(1-sqrt(cos(a*x)))/(x*(1-cos(sqrt(a*x)))) simple(diff(y)) ans =

1/2/cos(a*x)^(1/2)*sin(a*x)*a/x/(1-cos((a*x)^(1/2)))-

(1-cos(a*x)^(1/2))/x^2/(1-cos((a*x)^(1/2)))-1/2*(1-cos(a*x)^(1/2)) /x/(1-cos((a*x)^(1/2)))^2*sin((a*x)^(1/2))/(a*x)^(1/2)*a >> f=atan(y/x)-log(x^2+y^2); f1=simple(-diff(f,x)/diff(f,y)) f1 =

(y+2*x)/(x-2*y)

>> syms n positive; syms a; f=-log((x^n+a)/x^n)/(n*a); diff(f,x) ans =

-(n/x-(x^n+a)/(x^n)*n/x)/(x^n+a)*x^n/n/a 用LATEX 表示上面的结果，则

33

① 1=2 μ sin (x)

p 1 ? ex + x cos (x)

p 1 ? ex ? 1=2 x sin (x) ex p 1 ? ex ? 1 q

x sin (x) p 1 ? ex ② 1=2 sin (ax) a p cos (ax)x (1 ? cos (

p ax)) ? 1 ?

34

p cos (ax)

x2 (1 ? cos ( p ax)) ? 1=2

3 1 ? p cos (ax) ′ sin (

p ax) a x (1 ? cos ( p ax))2 p ax ③

y + 2 x x ? 2 y ④ ?

35

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