计算的差分方程组模型，相关知识在清华大学应用数学系姜启源教授编著的《数学模型》（高等教育出版社）一书中有详细记载，该书已经出版过三版，其中以第二版对人口模型的记载最为详尽。
近年来中国的人口发展出现了一些新的特点，例如，出生人口性别比持续升高、老龄化进程加速，以及乡村人口城镇化等因素，这些都影响着中国人口的增长。国家人口计生委2007年初在中国人口网 发布的《国家人口发展战略研究报告》(http://www.chinapop.gov.cn/fzzlbg/bgyw/t20070111_172058513.html) 对有关问题做出了详细分析。在国家统计局的网站上可以查阅到1996年至2006年的年度人口数据资料（http://www.stats.gov.cn/tjsj/ndsj/），以及2005年
全
国
1%
人
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查
数
据
（http://www.stats.gov.cn/tjsj/ndsj/renkou/2005/renkou.htm）。2007年全国大学生数学建模竞赛A题“中国人口增长预测”也提供了2001年至2005年全国人口按年龄、性别、城乡的人口抽样数据（不一定是1%人口抽样数据）（可从http://www.shumo.com/wiki/doku.php下载）。
问题一：搜索相关文献和数据，用数学模型方法分析近年来中国人口在出生性别比、老龄化和城镇化三个方面的变化趋势；
问题二：从中国的实际情况和人口增长的特点出发，应用已有的数学模型，或自己建立数学模型，对于中国人口的性别构成、老龄化程度和城镇化水平，从2010年至2050年每隔十年的发展趋势做出预测。 55、无错配的按优录用分配方案
现有某市直属单位向社会公开招聘8名公务员，具体的招聘办法如下：
（一）公开考试：凡是年龄不超过30周岁，大学专科以上学历，身体健康者均可报名参加考试，考试科目有：综合基础知识、专业知识和“行政职业能力测验”三个部分，每科满分为100分。根据考试总分的高低排序按1:2的比例（共16人）选择进入第二阶段的面试考核。
（二）面试考核：面试主要考核应聘人员的知识面、对问题的理解能力、应变能力、表达能力等综合素质。按照一定的标准，面试专家组对每个应聘人员的各个方面都给出一个等级评分，从高到低分成A/B/C/D四个等级，具体结果见表1所示。
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（三）由招聘领导小组确定录用名单,并分配到各用人部门。
该单位拟将录用的8名公务员安排到所属的7个部门。这7个部门按工作性质可分为四类：(1)行政管理、(2)技术管理、(3)行政执法、(4)公共事业，他们的类别和对公务员的期望要求见表2所示。每一位参加面试人员都可以申报两个自己的工作类别志愿（见表1）。招聘领导小组在确定录用分配方案的过程中，本着按优录用的原则，同时还要考虑用人部门的期望要求和应聘人员的志愿，尽量做到“不错配”（如果错配，会引起用人部门与公务员双方之间都存在流动的愿望，就会产生不稳定的情况）。
请建立数学模型，解决下列问题：
（1）每个部门至少要安排一名公务员，不考虑“无错配”的要求，试帮助招聘领导小组设计一种按优录用分配方案。
（2）检查以上方案是否满足“无错配”的要求；说明在此方案下用人部门对公务员的期望要求的满意程度和应聘人员的满意程度。
（3）每个部门至少要安排一名公务员，请你帮助招聘领导小组设计一种无错配的按优录用分配方案，使用人部门对公务员的期望要求的满意程度达到最优；说明在此方案下应聘人员的满意程度。
（4）每个部门至少要安排一名公务员，请你帮助招聘领导小组设计一种无错配的按优录用分配方案，使应聘人员的满意程度达到最优；说明在此方案下用人部门对公务员的期望要求的满意程度。
（5）如果允许对“每个部门至少要安排一名公务员”、“恰好录用8人”等要求或者参加面试人员申报志愿方式进行修改，请你说明你的假设，并重新求解问题（3）和问题（4），看看无错配的按优录用分配方案是否一定存在。
（6）你解决无错配的按优录用分配方案问题的方法对于一般情况，即N个应聘人员M个用人单位时，是否可行？请说明你的假设和算法，给出算法的复杂性分析。
表１：招聘公务员笔试成绩，专家面试评分及个人志愿
应聘 人员 笔试 成绩 专家组对应聘者特长的等级评分 申报类别志愿 知识面 理解能力 应变能力 表达能力 12
人员1 人员2 人员3 人员4 人员5 人员6 人员7 人员8 人员9 290 （2） （3） 288 （3） （1） 288 （1） （2） 285 （4） （3） 283 （3） （2） 283 （3） （4） 280 （4） （1） 280 （2） （4） 280 （1） （3） A A B A B B A B B D D A B D A B
A B A B A D B A B B C B C B B A B A D B B A C A A A B C D A C B B C C B C B B C B C A A A B B C 人员10 280 （3） （1） 人员11 278 （4） （1） 人员12 277 （3） （4） 人员13 275 （2） （1） 人员14 275 （1） （3） 人员15 274 （1） （4） 人员16 273 （4） （1） 表 2: 用人部门的类别及对公务员的期望要求
用人 部门 部门1 部门2 部门3 部门4 部门5 部门6 工作 类别 （1） （2） A （2） （3） C （3） （4） C B B A C A A B B C 各部门对公务员特长的希望达到的要求 知识面 B 理解能力 A 应变能力 C 表达能力 A 13
部门7
（4） 56、农场养牛问题
某公司计划承包有200亩土地的农场，建立奶牛场，雇佣工人进行奶牛养殖经营。由于承租费用较高，公司只能向银行贷款进行生产经营。现在要为未来的五年制定生产计划，并向银行还本付息，使公司盈利最大。
开始承包时农场有120头母牛，其中20头为不到2岁的幼牛，100头为产奶牛。产奶牛平均每头每年生1.1头牛，其中一半为公牛，生出后不久即卖掉，平均每头卖300元；另一半为母牛，可以在出生后不久卖掉，平均每头卖400元，也可以留下饲养，养至2岁成为产奶牛。幼牛年损失5%；产奶牛年损失2%。产奶牛养到满12岁就卖掉，平均每头卖1200元。现在有20头幼牛，0岁和1岁各10头；100头产奶牛，从2岁至11岁，每一年龄的都有10头。应该卖掉的小母牛都已卖掉。所有20头是要饲养成产奶牛的。
一头牛所产的奶提供年收入3700元。现在农场最多只能养130头牛。超过此数每多养一头，要投资2000元。每头产奶牛每年消耗0.6吨粮食和0.7吨甜菜。每头小牛每年消耗粮食和甜菜量为奶牛的2/3。粮食和甜菜可以由农场种植出来。每亩产甜菜1.5吨。只有80英亩的土地适于种粮食，产量平均0.9吨。从市场购粮食每吨900元，卖出750元。买甜菜每吨700元，卖出500元。 养牛和种植所需的劳动量为：每头小牛每年10小时；每头产奶牛每年42小时；种一亩粮食每年需20小时；种一亩甜菜每年需30小时。
其它费用：每头幼牛每年500元，产奶牛每头每年1000元；种粮食每亩每年150元，种甜菜每亩每年100元。劳动力成本为每小时费用为10元。 承包农场需要一笔费用，其中一部分是土地承租费用，每年6万元（每年底付清），另一部分用于支付开始承包时农场已有的120头牛的费用。平均产奶牛每头4000元，小牛每头400元，到承包结束时，农场的牛按此价折价抵卖。 任何投资都是从5年期的贷款得到。贷款的年利率为12%，每年偿还本息总共的1/5，五年还清。此外，农场主不希望产奶牛的数目在五年末与现在相比减少超过50%，也不希望增加超过75%。
试分析承包人有无盈利的可能性。若有，应如何安排5年的生产，使得五年
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的净收益为最大？
更进一步讨论，若遇到银行利率波动（例如上下波动2个百分点），还贷方式改变（如规定每年还息，改变还本的方式），由于气候等外因变化引起的农产品产量与价格的变化及劳动力市场价格的变动等将会对你的五年生产计划及收益产生怎样的影响。 57、“南水北调”水的分配
南水北调中线工程建成后，预计2010年的调水量为110亿立方米，主要用来改善经过京、津、冀、豫四省市沿线20个大中城市的用水。用水指标的分配原则是：改善城市环境、促进经济发展、提高用水效益和人民生活水平。生活用水、工业用水和综合服务业用水的分配比例分别为40％、38％和22％。下表是2000年各城市基本状况的统计数据，可以看出，各城市的人口数量差异很大，各城市的生活、工业和综合服务业的用水情况不同，相同的供水量所产生的经济效益也不同。
城市人口 城市 序号 总数 (万人) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1285 682 56 87 46 78 218 52 81 83 42 年自然增长率(‰) 2.04 3.03 9.15 5.90 5.87 6.12 5.41 4.50 3.69 6.61 8.00 工业产值 综合服务业 产值 人均生活用水量 (m) 160 140 180 360 315 318 235 315 320 310 320 3万元工业增加值用水量 (m3) 143 72 102 96 110 120 86 131 126 186 210 万元综合服务业用水量(m3) 354 209 245 325 185 178 267 165 230 320 220 增加值 (亿元) 737 739 193 268 480 256 464 189 721 110 36 年增长人均产年增长率 (%) 11.1 11.7 10.0 12.5 9.8 7.6 10.2 10.9 10.0 6.9 9.6 值(万元) 1.16 0.83 0.30 0.23 0.22 0.20 0.44 0.15 0.22 0.16 0.18 率 (%) 13.2 12.2 10.0 12.1 8.6 7.6 11.8 12.0 11.4 11.7 12.3 15
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