浙大2000年高代题

浙 江 大 学

二〇〇〇年攻读硕士学位研究生入学考试试题

考试科目： 高等代数

一、（20分f(x)是数域P上的不可约多项式．

（1）g(x)?P[x],且与f(x)有一个公共复根，证明f(x)g(x)． （2）若c及

11都是f(x)的根，b是f(x)的任一根，证明也是f(x)的根． cb二、（10分）计算行列式

210?000121?000012?000Dn????????．

000?210000000??102112三、（20分）（1）A是正定阵，C是实对称矩阵，证明：存在可逆矩阵P使得P?1AP,P?1CP 同时为对角形．

（2）A是正定阵，B是实矩阵，而AB是实对称的，证明：AB正定的充要条件是B的特 征值全大于0． 四、（20分）设n维线性空间V的线性变换A有n个互异的特征值，线性变换B与A可交 换的充要条件是B是E,A,A,?,A2n?1的线性组合，其中E为恒等变换．

n?1五、（10分）证明：n阶幂零指数为n?1的矩阵都相似．（若A 幂零指数为n?1）

?0,An?2?0，则称A的

六、（20分）设,AB是n维欧氏空间V的线性变换．对任意,??,??V，都有 (A(?),?)?(?,B(?))．证明：A的核等于B的值域的正交补．

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