线性变换思想在中学数学中的应用(2)

离x轴越近的点收缩越小， y?y0上的点沿x轴方向不发生伸缩变换。

?x0??x0??10? （2）沿y轴方向的切变变换：变换矩阵??将点??变换为点??，即点

s1ysx?y??0??0??0?x0???沿y轴方向移动sx0个单位。y轴上的点不发生移动，距离y轴越远的点收缩越大，距?y0?离y轴越近的点收缩越小，x?x0上的点沿y轴方向不发生伸缩变换。 2.3 中学数学中涉及到的几种线性变换的示例

用直线段将点???112?1??依次链接，得到一个三角形图形，如图所示：

?1?131?y0x

利用这个三角形的变换可观察不同线性变换作用的结果。 2.3.1 对称变换

??112?1? (1)关于x轴对称的对称变换的图例：原点集矩阵为??，变换后的矩阵

1?131??为??10???112?1???112?1????=??.变换后的三角形如下图所示：

?0?1??1?131???11?3?1?第 6 页（ 共 18 页）

y0x

（2）关于y轴对称的对称变换的图例：原点集矩阵为???112?1??，变换后的矩

?1?131?阵为???10???112?1??1?1?21????=??.变换后的三角形如下图所示： 011?1311?131??????y0x

（3）关于y?x对称的对称变换的图例：原点集矩阵为???112?1??，变换后的矩

1?131??阵为??01???112?1??1?131?=?.变换后的三角形如下图所示： ?????10??1?131???112?1?第 7 页（ 共 18 页）

y0x

2.3.2 伸缩变换(k取2或1/2)

??112?1? （1）沿x轴方向的伸缩变换：原点集矩阵为??，变换后的矩阵为

1?131???20???112?1???224?2??1/20???112?1?= 或??????????=

?01??1?131??1?131??01??1?131???1/21/21?1/2???.变换后的三角形如下图所示：

1?131??yy0x0x或

（2）沿y轴方向的伸缩变换：原点集矩阵为?

??112?1??，变换后的矩阵为

?1?131??10???112?1??10???112?1???112?1?= 或????????= ???02??1?131??01/2??1?131??2?262?第 8 页（ 共 18 页）

12?1???1??.变换后的三角形如下图所示： ?1/2?1/23/21/2?yy0x0x或

2.3.3 投影变换

（1）沿x轴方向的投影变换：原点集矩阵为?

??112?1??，变换后的矩阵为

?1?131??10???112?1???112?1?????= ??.变换后的三角形如下图所示： 001?1310000??????y0x

(2)沿y轴方向的投影变换:原点集矩阵为???112?1??，变换后的矩阵为

?1?131??00???112?1??0000?????= ??.变换后的三角形如下图所示： 011?1311?131??????第 9 页（ 共 18 页）

y0x

2.3.4 旋转变换（取??pi/6）

?3/2???112?1? 原点集矩阵为??，变换后的矩阵为??1/21?131???1?/2?×3??/23?3/2?(3?1)/2???112?1???(3?1)/2(3?1)/2?.变换后的三??= ???1?131??(3?1)/2(1?3)/21?33/2(3?1)/2??角形如下图所示：

yx

2.3.5 切变变换（取s?2）

(1)沿x轴方向的切变变换：原点集矩阵为???112?1??，变换后的矩阵为

?1?131??12???112?1??1?181?????= ??.变换后的三角形如下图所示： 011?1311?131??????第 10 页（ 共 18 页）

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