行列式的计算方法(2)

1=?00?9001316070?1325173=?(?13)?16?()?312, 8232这里，第一步是互换1，2两行，以下都是把一行的倍数加到另一行.用这

n2?2n?3特别当n比较个方法计算一个n级的数字行列式只需要做次乘法和除法。3大的时候，这个方法的优越性就更加明显了.

0123例 3:计算行列式123023013012.

解：直观上可以看出来,该行列式的各行之和相等,可知:

01231230230130126123=62306301601211122100=6112312301301101233=6110100210332

=6?2?200?4?8

0?1?1?1=6?1?1?(?4)?2??48.

3.3利用行列式的性质进行的计算[3][4]

此法就是利用行列式的性质计算，举例如下.

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121202011210?120. 212?11103例4:计算行列式31?1212解：312020112101?120?212?11103221002062?220211101?121164321?142?112210000022?224?231?21?10481?1162??11212?2216132110434

81?112162613?512320 17120?5121?3883030121202177012??337123010????. 881017810017本题注意对行列式性质的应用，解题过程中应该防止出差错，注意在此过程中利用行列式的性质降阶.我们可以发现本题一直用化简、降阶的方法，最后化为两阶的行列式然后利用定义求解，解这一类题型时应以解法简单为原则. 3.4加边法（或者称之为升阶法）[5]

把原n阶行列式适当的增加一行一列（或行列）变成n?1（或n?m）阶行列式，行列式的值保持不变，但要所得的n?1（或n?m）阶行列式较易计算，再通过性质化简出结果.其一般做法是：

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a11?a1n?an1?1a1?an0a11?a1nb??或????1??????annan1?ann0an1?annbna11?a1n10???0?,

a11?a1nan1?ann特殊情况取a1?a2???an?1或b1?b2???bn?1,例如：

x?aaax?aa?a???aaa?aa?a???aaa?例5:计算n阶行列式

a?ax?a?的值.

?x?ax?aaax?aa?aaa?a1a?a?a0x?aa?a0a?a1????0aa?

解：

a?ax?a?x?a??x?a?x?an?100?010?001?0????n?11a?a?a?1x?2a0?0?10?0????100??(x?2a)nx?2a??x?2an?1nax?2aax?2aax?2a?ax?2a

00?1na)?[x?(n?2)a](x?2a)n?1. x?2a又显然x?2a时上式成立，且此n阶行列式值为零. ?(x?2a)n(1?3.5展开法（又称降阶法）[6]

3.5.1按某一行（或列）展开

此方法主要是针对行列式中某行（或列）有较多的零元素，按照定义展开降阶并便于将降阶后的行列式利用其他方法求值.下举例说明

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b0?00a00?0ab00?ab0??????0a?000ab?000b0?00a00?0ab00?ab0 解：按第一行展开，可知：??????0a?000ab?0000?ab?b????a?00b?00?b(?1)?(?1)3.5.2按拉普拉斯定理展开

(n?1)(n?2)2例6:计算行列式.

0??a?(?1)n?10a???b0???ab?0(n?1)(n?2)2bn?1?a?(?1)n?1(?1)

(n?1)(n?2)2[bn?(?1)n?1an].也就是在某一个阶行列式中任意取k行(1?k?n?1)（或列），由这k行（或列）所组成的一切k级子式与它们的代数余子式的乘积的和等于原本行列式的值.

?aaa?a????b?????. 例 7：计算行列式b??????b?????b????ab?b?解：利用拉普拉斯定理，可知b??b????aa?a????????????????????? 9

?b?0?0aa????aa????00?0?00?00?0?0?0???????

???0?????????????00?????(n?1)ab??(n?2)??????

?????(???)[???(n?2)???(n?1)ab].

3.6公式法[7][8][9]

公式法1：在行列式的计算中,我们经常会碰到这样一种行列式，即为我们熟知

1的范德蒙行列式1a2????1an??a1?1?j?i?n?(ai?aj).

n?1n?1a1n?1a2?anab?b公式法2：即n阶行列式

ba?b????bb?a?(a?b)n?1[a?(n?1)b].

公式法3：爪型行列式，设b1b2...bn?0，则有

a1c2?cn12122例8：解行列式??12na2?anb2??0332?3n0???（a1?aca2c2???nn）b2b3?bn. b2bn?bn??n?.

?n2?nn解：利用公式法1范德蒙行列式定义得：

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