《导数及其应用》单元测试题（文科）(2)

3?，有f(x)?c2恒成立， 因为对于任意的x??0，所以 9?8c?c2， 解得 c??1或c?9，

因此c的取值范围为(??，?1)?(9，??)．

17．解: (1)令f?(x)?(?x3?3x?2)???3x2?3?0解得x?1或x??1 当x??1时,f?(x)?0, 当?1?x?1时,f?(x)?0 ,当x?1时,f?(x)?0

所以,函数在x??1处取得极小值,在x?1取得极大值,故x1??1,x2?1,f(?1)?0,f(1)?4

所以, 点A、B的坐标为A(?1,0),B(1,4).

(2) 设p(m,n)，Q(x,y)，PA?PB???1?m,?n???1?m,4?n??m2?1?n2?4n?4

kPQ??12，所以

y?nx?m2??12，又PQ的中点在y?2(x?4)上，所以

y?n2?x?m??2??4? ?2?消去m,n得?x?8???y?2??9.

2另法：点P的轨迹方程为m2??n?2??9,其轨迹为以（0，2）为圆心，半径为3的圆；

2设点（0，2）关于y=2(x-4)的对称点为(a,b),则点Q的轨迹为以(a,b),为圆心，半径为3的圆，由

b?2a?0??12，

b?22?a?0??2??4?得a=8,b=-2 ?2?

218．解（1）f?(x)?6x?6x,f?(2)?12,f(2)?7, ?????????2分

∴曲线y?f(x)在x?2处的切线方程为y?7?12(x?2)，即12x?y?17?0；??4分 （2）记g(x)?2x?3x?m?3,g?(x)?6x?6x?6x(x?1)

令g?(x)?0,x?0或1. ??????????????????????6分 则x,g?(x),g(x)的变化情况如下表 x g?(x) g(x) (??,0) 0 (0,1) ? 1 322(1,??) ? ? 0 0 ? ? 极大 ? ?g(0)?0?g(1)?0极小 当x?0,g(x)有极大值m?3;x?1,g(x)有极小值m?2. ?????????10分 由g(x)的简图知，当且仅当?,

即??m?3?0?m?2?0函数g(x)有三个不同零点，过点A可作三条不同切线.

,?3?m??2时，

所以若过点A可作曲线y?f(x)的三条不同切线，m的范围是(?3,?2).????14分

19．（1）x????,?2?,或x??2,???,f(x)递减; x???2,2?,f(x)递增; （2）1、当a?0,

x????,?2?,2?f(x)递增;2、当a?0,x???,2?,f(x)递增;3、当0?a?1,x????,2?,或

?a??2?x??,???,f(x)递增; ?a?当a?1,x????,???,2?f(x)递增;当a?1,x?????,?,或x??2,???,f(x)?a?递增;（3）因a?0,由②分两类（依据：单调性，极小值点是否在区间[-1,0]上是分类“契机”： 1、当2?2???1,?a??2, x???1,0???,2?,a?a?f(x)递增，f(x)min?f(?1)??3，解得a??34??2,

2、当2a?3?6??1,?a?2f(x)?f()??3，化简得：3a2?3a?1?0，解得 由单调性知：?2,mina34a?21??2,不合要求；综上，a??为所求。

20．（1）解法1：∵h?x??2x?∴h??x??2?ax22a2x ???， ?lnx，其定义域为?0，?1x．

2∵x?1是函数h?x?的极值点，∴h??1??0，即3?a?0．

∵a?0，∴a?经检验当a?∴a?3．

3时，x?1是函数h?x?的极值点，

3．

解法2：∵h?x??2x?∴h??x??2?ax22a2x???， ?lnx，其定义域为?0，?1x． ax22令h??x??0，即2?2?1x?0，整理，得2x?x?a?0．

22∵??1?8a?0， ∴h??x??0的两个实根x1??1?1?8a42（舍去），x2??1?1?8a42，

当x变化时，h?x?，h??x?的变化情况如下表：

x ?0,x2? — ? x2 ?x2,??? ＋ ? h??x? h?x? 0 极小值 依题意，

?1?1?8a42?1，即a2?3，

∵a?0，∴a?3．

（2）解：对任意的x1,x2??1，e?都有f?x1?≥g?x2?成立等价于对任意的x1,x2??1，e?都有??f?x???min≥??g?x???max．

当x?［1，e］时，g??x??1?1x?0．

∴函数g?x??x?lnx在?1，e?上是增函数． ∴??g?x???max?g?e??e?1．

∵f??x??1?ax22??x?a??x?a?x2，且x??1,e?，a?0．

①当0?a?1且x?［1，e］时，f??x??∴函数f?x??x?a2?x?a??x?a?x2?0，

x在［1，e］上是增函数，

2∴??f?x???min?f?1??1?a.

由1?a2≥e?1，得a≥e，

又0?a?1，∴a不合题意．

②当1≤a≤e时， 若1≤x＜a，则f??x??若a＜x≤e，则f??x??∴函数f?x??x?a2?x?a??x?a?x?x?a??x?a?x22?0， ?0．

x在?1,a?上是减函数，在?a，e?上是增函数．

∴??f?x???min?f?a??2a. 由2a≥e?1，得a≥又1≤a≤e，∴

e?12e?12，

≤a≤e．

③当a?e且x?［1，e］时，f??x??∴函数f?x??x?a2?x?a??x?a?x2?0，

x在?1，e?上是减函数．

∴??f?x???min?f?e??e?由e?

a

2

a2e.

≥e?1，得a≥e，

e

又a?e，∴a?e． 综上所述，a的取值范围为

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