数学竞赛中的数论问题(6)

??7n?1,14n?3? ④ ??7n?1,1? ⑤

?1．

解题分析：第④ 相当于 ①-②；第⑤ 相当于②-2（①-②）=②×3-①×2；所以③式与⑤式的效果是一样的．

例12 不存在这样的多项式

f?n??amn?am?1nmm?1???a1n?a0，

使得对任意的正整数n，f?n?都是素数．

证明 假设存在这样的多项式,对任意的正整数n，f?n?都是素数，则取正整数n?b，有素数p使

f?b??amb?am?1bmm?1???a1b?a0?p，

进而对任意的整数k,有

f?b?kp??am?b?kp??am?1?b?kp?mm?1???a1?b?kp??a0

??ambm?am?1bm?1???a1b?a0??Mp（二项式定理展开）

?P?1?M?，

其中M为整数，这表明f?b?kp?为合数．

这一矛盾说明，不存在这样的多项式,对任意的正整数n，f?n?都是素数． 三、平方数

若a是整数，则a就叫做a的完全平方数，简称平方数． 1．平方数的简单性质

（1）平方数的个位数只有6个：0,1,4,5.6.9．

（2）平方数的末两位数只有22个：00，01，21，41，61，81，04，24，44，64，84，25，16，36，56，76，96，09，29，49，69，89．

（3）?2n??0?mod4?,?2n?1??1?mod4?． （４）?2n?1??1?mod8?．

（6）凡是不能被3整除的数，平方后被3除余1．

（7）在两个相邻整数的平方数之间，不能再有平方数． （8）非零平方数的约数有奇数个．

2222 26

（9）直角三角形的三边均为整数时，我们把满足a?b?c的整数?a,b,c?叫做勾股

222数．勾股数的公式为

?a?m2?n2,? ?b?2mn,

?c?m2?n2,?其中m,n为正整数，?m,n??1且m,n一奇一偶．这个公式可给出全部素勾股数．

2．平方数的证明方法 （1）反证法． （2）恒等变形法．

（3）分解法．设a为平方数，且a?bc，?b,c??1，则b,c均为平方数． （4）约数法．证明该数有奇数个约数． 3．非平方数的判别方法

（1）若n?x??n?1?，则x不是平方数．

22（2）约数有偶数个的数不是平方数．

（3）个位数为2，3，7，8的数不是平方数． （4）同余法：满足下式的数n都不是平方数．

n?2?mod3?， n?2或3?mod4?， n?2或3?mod5?，

n?2或3或5或6或7?mod8?， n?2或3或7或8?mod10?．

（5）末两位数不是：00，01，21，41，61，81，04，24，44，64，84，25，16，36，56，76，96，09，29，49，69，89．如

个位数与十位数都是都是奇数的数， 个位数是6、而十位数是偶数的数．

例13 有100盏电灯，排成一横行，从左到右，我们给电灯编上号码1，2，?，99，100．每盏灯由一个拉线开关控制着．最初，电灯全是关着的．另外有100个学生，第一个学生走过来，把凡是号码为1的倍数的电灯的开关拉了一下；接着第2个学生走过来，把凡是号码为2的倍数的电灯的开关拉了一下；第3个学生走过来，把凡是号码为3的倍数的电灯的开关拉了一下，如此等等，最后那个学生走过来，把编号能被100整除的电灯的开关拉了一下，这样过去之后，问哪些灯是亮的？

讲解 （1）直接统计100次拉线记录，会眼花缭乱．

（2）拉电灯的开关有什么规律：电灯编号包含的正约数（学生）才能拉、不是正约数（学生）不能拉，有几个正约数就被拉几次．

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（3）灯被拉的次数与亮不亮（开、关）有什么关系：

0 关 1 开 2 关 3 开 4 关 5 开 6 关 7 开 8 关 9 开

灯被拉奇数次的亮！

（4）哪些数有奇数个约数：平方数． （5）1～100中有哪些平方数：共10个：

1，4，9，16，25，36，49，64，81，100．

答案：编号为1，4，9，16，25，36，49，64，81，100共10个灯还亮．

例14 已知直角三角形的两条直角边分别为正整数a,b，斜边为正整数c，若a为素数，求证2?a?b?1?为平方数．

证明 由勾股定理c?a?b，有 ?c?b??c?b??a，

2222但a为素数，必有

?c?b?a2, ?

?c?b?1,解得 b?12?a?1?， 2从而 2?a?b?1??2a?a?1?2??a?1?，

2??2为平方数．

例15 求证，任意3个连续正整数的积不是平方数．

证明 设存在3个连续正整数n?1,n,n?1（n?1）的积为平方数，即存在整数m，使

?n?1?n?n?1??m，

2即 n?1n?m，

2但n?1,n?1，故n?1,n均为平方数，有

2?2?2???n2?1?a2,?2 ?n?b,?m?ab,?得 1?n?a?n??n?1??2n?1?1，（注意n?1）

2222这一矛盾说明，3个连续正整数的积不是平方数．

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例16 ?1986,IMO23?1?设d是异于2，5，13的任一整数．求证在集合?2,5,13,d?中可以找到两个不同元素a,b，使得ab?1不是完全平方数．

证明 因为2?5?1?3,2?13?1?5,5?13?1?8，所以不是完全平方数只能是

2222d?1,5d?1,13d?1．若结论不成立，则存在正整数x,y,z，使

2d?1?x2, ①5d?1?y2, ② 13d?1?z2, ③同时成立，由①知x是奇数，设x?2n?1代入①得 d?2n?2n?1

为奇数，代入②、③知y,z均为偶数．设y?2p,z?2q，代入②、③后相减，有 2d?q?p??q?p??q?p?．

222 由于2d为偶数，故p,q同奇偶，?q?p??q?p?可被4整除，得d为偶数．这与上证d为奇数矛盾．

所以，在集合?2,5,13,d?中可以找到两个不同元素a,b，使得ab?1不是完全平方数．

a2?b2例17 (IMO29?6)设a,b为正整数，ab?1整除a?b．证明是完全平方数．

ab?122a2?b2?k，k是正整数．式中a,b是对称的，不妨设a?b． 证明 令

ab?12a2?k??2?k?a2?k?k?1．本题获证． (l)若a?b，则2a?1 (2)若a?b，由带余除法定理，可设a?bs?t（s?2,0?t?b,s,t是整数)，则

a2?b2b2s2?2bst?t2?b2?为正整数，

ab?1b2s?bt?1b2s2?2bst?t2?b2??s?1? 由 2bs?bt?1 29

b2s22???2bst?t2?b2???b2s?bst?s???b2s?bt?1?b2s?bt?1 ??bst?t2?b2?s?b2s?bt?1b2s?bt?1

?s??b?b?t??1???b?b?t??t2?1b2s?bt?1?0,且 ?s?1??b2s2?2bst?t2?b2b2s?bt?1

?b222?s?bst?s???bs?bt?1???b2s2?2bst?t2?b2?b2s?bt?1bst?s?b2s?bt?1?t2?b2?b2s?bt?1bst?bt?t2

????s??b2s?b2??1b2s?bt?1?t??b?s?1??t???b?b?t??t2?1b2s?bt?1?0,1?b2s2?2bst?t2得 s??b2b2s?bt?1?s?1，

所以必有

b2s2?2bst?t2?b2b2s?bt?1?s， 化简 b2?t2?sbt?s，

得

b2?t2bt?1?s， 于是

a2?b2b2ab?1??t2bt?1?s， 其中t?b?a．

此时若t?0，则k?b2，本题获证．

若t?0，可继续令b?ts1?t1（s1?2,0?t1?t,s1,t1是整数），仿上可推得

a2?b2b2?t2t2?t2ab?1?1bt?1?tt1?s1，

1? 此时若t1?0，则k?t2，本题获证．

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