大学物理答案第1～2章(3)

受的最大张力为20N。试求要多大的水平冲量作用在原来静止的小球上才能将绳子打断？

?I?mv0?0解：由动量定理得

?I?v0?m，如图受力分析并由牛顿定律得，

2mv0T?mg?l2mv0T?mg??20

l?mg??I2/l?20?I?2.47Ns2－13一作斜抛运动的物体，在最高点炸裂为质量相等的两块，最高点距离地面为19.6m。爆炸1.0s后，第一块落到爆炸点正下方的地面上，此处距抛出点的水平距离为100m。问第二块落在距抛出点多远的地面上？(设空气的阻力不计)

解：取如图示坐标系，根据抛体运动规律，爆炸前，物体在最高点得速度得水平分量为

x1?x1g/2h(1)t物体爆炸后，第一块碎片竖直下落的运动方程为1y1=h-v1t-gt22当碎片落地时，y1=0,t=t1,则由上式得爆炸后第一块碎片抛出得速度为v0x?1h-gt2v1＝2t1（2）又根据动量守恒定律，在最高点处有1mv0x＝mv2x（3）2110＝－mv1?mv2y?4?22联立以上（）－（14）式得爆炸后第二块碎片抛出时的速度分量分别为v2x＝2v0x＝2x1g?100ms?12h1h-gt2v2y?v1?2?14.7ms?1t1爆炸后第二块碎片作斜抛运动，其运动方程为x2＝x1+v2xt2（5）12y2=h+v2yt2-gt2（6）2落地时y2?0,由式（5）和（6）可解得第二块碎片落地点得水平位置x2＝500m

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2－14质量为M的人手里拿着一个质量为m的物体，此人用与水平面成θ角的速率v0

向前跳去。当他达到最高点时，他将物体以相对于人为u的水平速率向后抛出。问：由于人抛出物体，他跳跃的距离增加了多少？（假设人可视为质点）

解：取如图所示坐标，把人和物视为一系统，当人跳跃到最高点处，在向左抛物得过程中，满足动量守恒，故有

?m+M?v0cos??Mv?m(v?u)式中v为人抛物后相对地面的水平速率，v－u为抛出物对地面得水平速率，得mum+M人的水平速率得增量为mu?v＝v-v0 cos?＝m+M而人从最高点到地面得运动时间为vsin?t＝0gv＝v0cos?+所以人跳跃后增加的距离为mv0sin??x＝?vt＝u（m+M）g2－15铁路上有一静止的平板车，其质量为M，设平板车可无摩擦地在水平轨道上运动。现有N个人从平板车的后端跳下，每个人的质量均为m，相对平板车的速度均为u。问：在下列两种情况下，（1）N个人同时跳离；（2）一个人、一个人地跳离，平板车的末速是多少?所得的结果为何不同，其物理原因是什么?

解：取平板车及N个人组成的系统，以地面为参考系，平板车的运动方向为正方向，系统在该方向上满足动量守恒。

考虑N个人同时跳车的情况，设跳车后平板车的速度为v，则由动量守恒定律得 0＝Mv+Nm（v－u）

v＝Nmu/(Nm+M) (1)

又考虑N个人一个接一个的跳车的情况。设当平板车上商有n个人时的速度为vn，跳下一个人后的车速为vn－1，在该次跳车的过程中，根据动量守恒有

（M+nm）vn=M vn－1+(n-1)m vn－1+m(vn－1-u) (2) 由式（2）得递推公式

vn－1=vn+mu/(M+nm) (3) 当车上有N个人得时（即N＝n），vN＝0；当车上N个人完全跳完时，车速为v0， 根据式（3）有， vN-1=0+mu/(Nm+M)

vN-2= vN-1+mu/((N-1)m+M) ………….

v0= v1+mu/(M+nm)

将上述各等式的两侧分别相加，整理后得，

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v0＝?mun＝1M+nmN由于M?nm?M?Nm,n?1,2,3....N故有，v0?v即N个人一个接一个地跳车时，平板车的末速度大于N个人同时跳下车的末速度。这是因为N个人逐一跳离车时，车对地的速度逐次增加，导致跳车者相对地面的速度也逐次增加，并对平板车所作的功也相应增大，因而平板车得到的能量也大，其车速也大。2－16 A、B两船在平静的湖面上平行逆向航行，当两船擦肩相遇时，两船各自向对方平稳地传递50kg的重物，结果是A船停了下来，而B船以3.4m/s的速度继续向前驶去。A、B两船原有质量分别为500kg和1000kg，求在传递重物前两船的速度。(忽略水对船的阻力)

解：

设A、B两船原有的速度分别为vA和vB，传递重物后的速度分别为v’A和v’B,由动量守恒定律可得

（mA?m）vA+mvB=mAv?A（mB?m）vB+mvA=mBv?B－1－1?将v?＝0ms，v＝3.4ms代入上面两式，可解得 AB－mBmv?－1BvA＝＝?0.4ms（mB?m）（mA?m）－m2（mA?m）mBv?－1BvB＝＝3.6ms（mB?m）（mA?m）－m22－17一人从10m深的井中提水，起始桶中装有10kg的水，由于水桶漏水，每升高1m要漏去0.2kg的水。求水桶被匀速地从井中提到井口，人所作的功。

解：水桶在匀速上提的过程中，加速度为0，拉力和重力平衡，在图示坐标下，水桶重力随位置的变化关系为

G＝mg－αgy

其中α＝0.2kg/m,人对水桶的拉力的功为

W??(mg－?gy）dy＝882J

0102－18如本题图所示，A和B两块板用一轻弹簧连接起来，它们的质量分别为m1和m2。问在A板上需加多大的压力，方可在力停止作用后，恰能使在跳起来时B稍被提起。（设弹簧的劲度系数为k）

解：选取如图所示坐标系，取原点处为重力势能和弹性势能零点，作各种状态下物体的受力图。对A板而言，当施以外力F时，根据受力平衡有

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F1＝G1?F(1)当外力撤除以后，由机械能守恒定律得，11ky12-mgy1=ky22?mgy222y1和y2为M、N两点对原点O的位移。因为F1＝ky1,F2=ky2,G1=m1g上式可以写为，F1-F2=2G1由（）和（12）式可得F＝G1?G2由式（3）可得F＝G1+G2=(m1+m2)g(3)(2)

习题2－18图

当A板跳到N点时，B板刚被提起，此时弹性力F2?=G2,且F2=F2?,2－19如本题图所示，质量为m、速度为v的钢球，射向质量为M的靶，靶中心有一小孔，内有劲度系数为k的弹簧，此靶最初处于静止状态，但可在水平面上作无摩擦滑动，求子弹射入靶内弹簧后，弹簧的最大压缩距离。

解：设弹簧得最大压缩量为x0。小球与靶共同运动得速度为v1。由动量守恒定律，有

mv?(m?M)v1又由机械能守恒定律，有1112mv2＝(m?M)v12?kx0222由（）式和（12）式可得x0＝mMvk（m?M)(1)（2）

习题2－19图

2－20以质量为m的弹丸，穿过如本题图所示的摆锤后，速率由v减少到v/2。已知摆

锤的质量为M，摆线长度为l，如果摆锤能在垂直平面内完成一个完全的圆周运动，弹丸的速度的最小值应为多少？

解：

习题2－20图

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由水平方向的动量守恒有，vmv＝m?Mv'(1)2为了使摆锤能在垂直平面内作圆周运动，在最高点时，摆线中的张力F=0,则，Mv'2hMg＝(2)l式中v'h为摆线在圆周最高点的运动速率。又由机械能守恒定律得11Mv'2＝2Mgl+Mv'2（3）h22解上述三个方程，可得担丸所需速率的最小值为v＝2M5glm

2－21如本题图所示，一质量为M的物块放置在斜面的最底端A处，斜面的倾角为α，高度为h，物块与斜面的滑动摩擦因数为μ，今有一质量为m的子弹以速度v0 沿水平方向射入物块并留在其中，且使物块沿斜面向上滑动，求物块滑出顶端时的速度大小。

解：

在子弹与物块的撞击过程中，在沿斜面的方向上，根据动量守恒有mv0cos??(M?m)v1(1)在物块上滑的过程中，若令物块刚滑出斜面时的速度为v2，并取A点的重力势能为0。由系统的功能原理可得h112－u(m+M)gcos??(m+M)v2?(m+M)gh-(m+M)v12sin?22由（）、（12）式可得v2＝（

(2)m2v0cos?）?2gh（ucot?+1）m+M习题2－21图

2－22如本题图所示，一个质量为m的小球，从内壁为半球形的容器边缘点A滑下。设容器质量为M，半径为R，内壁光滑，并放置在摩擦可以忽略的水平桌面上，开始时小球和容器都处于静止状态。当小球沿内壁滑到容器底部的点B时，受到向上的支持力为多大？

解：

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