2004—2014年考研数学真题“极限”题型精选解析(3)

(A) 若{xn}收敛，则{f(xn)}收敛 (B) 若{xn}单调，则{f(xn)}收敛 (C) 若{f(xn)}收敛，则{xn}收敛. (D) 若{f(xn)}单调，则{xn}收敛. 答案：(B)，注：2008年数一（4）、数二（5）

解析：若{xn}单调，则由函数f(x)在(??,??)内单调有界知，若{f(xn)}单调有界，因此若{f(xn)}收敛．故应选(B). 因为f(x)不一定连续，当xn?a时，f(xn)?f(a)不一定成立，所以（A）错，如f(x)??x?0?arctanx,?1)，取xn?(?1?arctanx,x?0n1im(f)xn?0，但ln??n??1,x?0?n1?0，limf(xn)不存在；取不存在，或者取f(x)??0,x?0，xn?(?1)n??n?1,x?0?f(x)?arctanx，xn?n，此时limf(xn)收敛且单调，但{xn}发散，因此(C)(D)都是错误

n??的。

6、设limlnn(1?)(1?)n??1n22n2n(1?)2=（ ）

n(A)

?21ln2xdx

(B) 2

?21lnxdx (C) 2?ln(1?x)dx (D)?ln2(1?x)dx

1122答案：(B)，注：2004年数二（9）

12解析：limlnn(1?)2(1?)2n??nn12012nn2kn1nk(1?)?lim?ln(1?)?2lim?ln(1?)?

n??n??nnnnk?1k?1。 2?ln(1?x)dx?2?lnxdx，应选（B）

二、填空题

1?2xx)? 7、lim(x?02注：2011年数二（9） 解析：lim(x?011?2)?limex?02x1x11?2xlnx2?limex?012x?1ln(1?)x2?limex?012x?1?x2?limex?02xln22?eln2?2

11

8、lim(tanx)x?1cosx?sinx?? 4注：2012年数三(9）

?解析：原式=lim?(1?(tanx?1))?x??4 9、lim1tanx?1???tanx?1cosx?sinx=e1sinx?cosx??cosxcosx?sinxx?lim4?e?2；

或利用幂指函数恒等变形：u(x)v(x)?ev(x)lnu(x)?ev(x)ln[1?(u(x)?1)]

e?ecosx1?x?12x?03?

注：2009年数三(9）

1e?x2e(1?cosx)3e?ee(1?e)?lim2解析：lim?lim?lim?e. x?012x?031221?x2?1x?031?x2?1x?0xx33cosxcosx?1

10、当x?0时，?(x)?kx与?(x)?1?xarcsinx?cosx是等价无穷小，则k= 注：2005年数二（5）

解析：题设相当于已知lim2?(x)?1，由此确定k即可。由题设，

x?0?(x)limlimx?0xarcsinx?1?cosx1?(x)1?xarcsinx?cosx==lim?limx?0x?0?(x)x?02kkx2kx2(1?xarcsinx?cosx)xarcsinx?1?cosx33??1，得k?. 24kx4

三、解答题

[t?11、求极限lim1x???x2(e?1)?t]dt1t1x2ln(1?)x21t

注：2014年数一、数二、数三（15)，（本题满分10分）

?解析：原式?limx???x1[t(e?1)?t]dt1x2?x??limx???x1[t(e?1)?t]dtx21t?

12

1?lim[x(e?1)?x]?limx(e?1?)x???x???x221x1x1令?tx?et?1?tet?11lim?lim? 2t?0t?0t2t2注：当t→0时，ln(1?t)

12、已知函数F(x)?t,ett21?t??0(t2)

2!?x0ln(1?t2)dtx?，设limF(x)?limF(x)?0，试求?的取值范围。 ?x???x?0注：2011年数二（15）

解析：

当a?0,因为limF(x)???,所以结论不正确x????当a?0，limF(x)?limx???x???x?0?x0ln(1?t2)dtxaln(1?x2)2x1?lim?lim?0,得a?1x???x???1?x2a(a?1)xa?2axa?1?limF(x)?limx???x0ln(1?t2)dtxaln(1?x2)x2?lim??lim?a?1?0得2?a?1,所以a?3a?1x?0x?0axax于是1?a?3

13、求极限limx?0?1?cosx??x?ln(1?tanx)?.

sin4x注：2009年数二（15），（本题满分9分）

12x?x?ln(1?tanx)?1?cosx??x?ln(1?tanx)??解析：lim ?lim244x?0x?0sinxxsec2x1?1x?ln(1?tanx)111?tanx?sec2x1tanx?tan2x1?tanx?lim?lim?lim?lim?2x?0x22x?02x2x?02x(1?tanx)4x?0x1tanx(1?tanx)1lim? 4x?0x4

14、试确定A,B,C的值，使得e(1?Bx?Cx)?1?Ax?o(x)，其中o(x)是当x?0时比x高阶的无穷小。

注：2006年数二（15），（本题满分10分）

解析：题设方程右边为关于x的多项式，要联想到e的泰勒级数展开式，比较x的同次项系数，可得A,B,C的值.

x3x233 13

x2x3??o(x3)代入题设等式得 将e的泰勒级数展开式e?1?x?26xx

??x2x3??o(x3)?[1?Bx?Cx2]?1?Ax?o(x3) ?1?x?26??整理得

1?(B?1)x??B?C?比较两边同次幂系数得

??1?2?B1?33 x??C??o(x)?1?Ax?o(x)???2?6??2??B?1?A?1? ?B?C??0，解得

2?1?B?C??0?6?21?A??3?2??B??.

3?1?C??6?注：题设条件中含有高阶无穷小形式的条件时，要想到用麦克劳林公式或泰勒公式求解，要

熟练掌握常用函数的泰勒公式。

15、求极限limx?012?cosxx[()?1] 3x3注：2004年数二(15）（本题满分10分） 解析：此极限属于

0型未定式.可利用罗必达法则,并结合无穷小代换求解. 0?2?cosx?xln??3??法1：原式?limx?0ex3?2?cosx?ln??（2?cosx）?ln3?13???limln ?limx?0x?0x2x21（??sinx）11sinx1??lim??? ?lim2?cosxx?02x?02?cosxx62xe?2?cosx?xln??3??法2：原式?limx?0x3?2?cosx?cosx?1ln?ln（1?）??13??lim3 ?lim?22x?0x?0xx?limcosx?11 ??2x?03x6t注：上面用到等价代换e?1t,ln(1?t)t(t?0)

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