高考数学（理科）必考题型过关练：专题4 第17练 平面向量中的线(2)

解析 ∵λa＋b＝0，∴λa＝－b， ∴|λa|＝|－b|＝|b|＝22＋12＝5， ∴|λ|·|a|＝5. 又|a|＝1，∴|λ|＝5.

m→→→→→→→10．在平面内，已知|OA|＝1，|OB|＝3，OA·OB＝0，∠AOC＝30°，设OC＝mOA＋nOB(m，n∈R)，则等n于________． 答案 ±3

→→解析 因为∠AOC＝30°，所以〈OA，OC〉＝30°. →→→→→因为OC＝mOA＋nOB，OA·OB＝0， →→→所以|OC|2＝(mOA＋nOB)2 →→＝m2|OA|2＋n2|OB|2 ＝m2＋3n2， →

即|OC|＝m2＋3n2.

→→→→→又OA·OC＝OA·(mOA＋nOB) →

＝mOA2＝m，

→→→→则OA·OC＝|OA|·|OC|cos 30°＝m， 即1×m2＋3n2×

2

2

3

＝m， 2

m2

平方得m＝9n，即2＝9，

nm所以＝±3.

n

11．已知非零向量e1，e2不共线．

→→→

(1)如果AB＝e1＋e2，BC＝2e1＋8e2，CD＝3(e1－e2)，求证：A、B、D三点共线； (2)欲使ke1＋e2和e1＋ke2共线，试确定实数k的值． →

(1)证明 ∵AB＝e1＋e2，

→→→

BD＝BC＋CD＝2e1＋8e2＋3e1－3e2＝5(e1＋e2) →＝5AB，

→→

∴AB与BD共线，且有公共点B， ∴A、B、D三点共线．

(2)解 ∵ke1＋e2与e1＋ke2共线，

∴存在λ，使ke1＋e2＝λ(e1＋ke2)， 则(k－λ)e1＝(λk－1)e2. 由于e1与e2不共线，

??k－λ＝0，只能有?∴k＝±1.

?λk－1＝0，?

→→→12．已知点O为坐标原点，A(0,2)，B(4,6)，OM＝t1OA＋t2AB. (1)求点M在第二或第三象限的充要条件；

(2)求证：当t1＝1时，不论t2为何实数，A、B、M三点都共线； →→

(3)若t1＝a2，求当OM⊥AB且△ABM的面积为12时a的值． →→→

(1)解 OM＝t1OA＋t2AB ＝t1(0,2)＋t2(4,4)＝(4t2,2t1＋4t2)． 当点M在第二或第三象限时，

?4t2<0，?有? ?2t＋4t≠0，?12

故所求的充要条件为t2<0且t1＋2t2≠0. (2)证明 当t1＝1时， →

由(1)知OM＝(4t2,4t2＋2)． →→→

∵AB＝OB－OA＝(4,4)，

→→→→AM＝OM－OA＝(4t2,4t2)＝t2(4,4)＝t2AB， ∴不论t2为何实数，A、B、M三点共线． →

(3)解 当t1＝a2时，OM＝(4t2,4t2＋2a2)． →→→又AB＝(4,4)，OM⊥AB， ∴4t2×4＋(4t2＋2a2)×4＝0， 1→

∴t2＝－a2，故OM＝(－a2，a2)．

4→

又|AB|＝42，

点M到直线AB：x－y＋2＝0的距离 |－a2－a2＋2|d＝＝2|a2－1|.

2∵S△ABM＝12，

11∴|AB|·d＝×42×2|a2－1|＝12， 22

解得a＝±2，故所求a的值为±2.

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