高二年级数学理科试卷参考答案

期末考试高二年级数学理科试卷参考答案

一、选择题：每小题5分，共计60分。

B、C、C、D、A、B、B、C、C、B、C、C

二、填空题：每小题4分，共计16分。 13．2100； 14. 384； 15.

32； 16. ① ③

三、解答题： 17、解：（1）记“恰有一个研究所研制成功”为事件A，则

P(A)?12?23?34?12?13?34?12?112423?14?1124

故恰有一个研究所研制成功的概率为 。 （6分）

（2）设至少需要n个乙这样的研究所，则有 99?2?1????100?3??n?2lg3?lg2n,1?2????100?3?n?2??1?,nlg???lg????2?3??100?

?11.35?n?Z,?n的最小值?12故至少需要乙这样的研究所12个。 （12分）

2118、解：由已知得：Cn?Cn?27，化简得：n2?3n?54?0

解得：n?9,（1）Tr?1?C9?2x?r9?rn??6（舍） （4分） x?2r?C92r9?rx9?3r

36令9?3r?0，则r?3，?T4?C92?5376

故展开式的常数项为5376； （8分）

r9?rr?19?r?1??C92?C92（2）若设第r?1项的系数最大，则有：?

r9?rr?19?r?1?C92??C92 解得：

73?r?103， ?r?Z,?r?3,?T4?5376为系数最大项。（12分）

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19、解：（1）由已知可得?的取值为：0，1，2，

C5?C4?C3CC5C3C12211212222P???0???1966 ，P???1??C5C4?C4C3C2121111?3266 ，

P???2???1566 ， （4分）

??的概率分布列为：

? P 0 1966?1?1 1633?2?5222 3133522

??的数学期望为：E??0?19661633? （8分）

???0??0???2 （2）显然??0时不等式成立；若??0，则有：?12?????4???0?2?0???2，?P?A??P???0??P???1??xx?221966?326622?5166 （12分）

20、解：（1）当a?1时，f?x??，f'?x??2?x2(x?2)，令f'得x???x??0，

2 （3分）

x f'???,?2? ? ?2 ??2,2 ?2 ?2,?? ? ??x? 0 极小 24+ ? 2420 极大 f?x? ? ? 故函数的极大值、极小值分别为2a?ax022和? 。 （6分）

2a?ax0?ax0222(2) f'?x0???x20?2?,f'?x0??[f?x0?]??x20?2?2?0

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?2a?a0x2?a0x?0?,222a?0,??1??a0x2 ?221?a 当1?a?0时，方程?1?a?x0?2无解；当1?a?0时，x02??x0??0,1?,?x0??0,1?,即0?2。 （9分）

21?a?1,解得a?1。

因此，实数a的取值范围是?1,???。 （12分） 21、解：(1)a1?1;a2? (2)猜想an?n?2?1;a3?3?2 （3分）

n?1

证明：①当n?1时，由a1?1?1成立 （5分） ②假设n?k(k?N*)时结论成立，即ak?当n?k?1时，ak?1?Sk?1?Sk?12121ak?11ak?112k?1ak?1k?1，

121ak1k?k?1(ak?1?)?(ak?)

?(ak?1?)?12121(k?k??1 ) （7分）

?(ak?1?)?(k?k??1k?k? )1 ?ak?1?12(ak?1?ak?1)?k （9分）

2从而有ak?1?2kak?1?1?0，又由ak?0，解得ak?1??2k?24k?4?k?1?k 这说明当n?k?1时结论成立。 由①②可知，an?

高二数学理科试题参考答案共4页 第3页 n?n?1对任意正整数n都成立。 （12分）

22、解：因为f(x)??1?x??ln?1?x?所以f'22'?x??2?1?x??21?x2

1??（1）令f(x)?2?1?x???2??1?x????0?1?x1?x??2x?2x1?x?0

??2?x??1或x?0，所以f(x)的单调增区间为??2,?1?和?0,???； （3分）

1?x?2x?令f(x)?2?1?x???2??1?x???0??0 ?1?x1?x1?x??'22??1?x?0或x??2，所以f(x)的单调减区间为??1,0?和???,?2?。 （6分）

'（2）令 f(x)?0??1?x??1?x?0或x??2（舍），由（1）知，f?x?连续，

2?f(1e?1)?1e2?2,f(0)?1,f(e?1)?e?2，所以，当x?2?1?时，f(x)的?1,e?1?e???最大值为e2?2。因此f(x)?m恒成立时实数m的取值范围是：m?e2?2。 （10分） （3）原题可转化为：方程a??1?x??ln?1?x?在区间?0,2?上恰好有两个相异的实根。 令g(x)??1?x??ln?1?x?，则g(x)?1?'2221?x，令g'(x)?0，解得：x?1，

当x??0,1?时，g(x)?0，?g(x)在?0,1?单调递减，

'当x??1,2?时，g(x)?0，?g(x)在?1,2?单调递增。 （12分）

'?g?x?在x?0和x?2点处连续，又?g(0)?1,g(1)?2?ln4,g(2)?3?ln9，

且2?ln4?3?ln9?1,?g(x)的最大值是1，g(x)的最小值是2?ln4。 所以在区间?0,2?上原方程恰有两个相异的实根时实数a的取值范围是：

2?ln4?a?3?ln9 （14分）

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